IV = 71T\ *• OO
Si dans cette équation on fait successivement p = 2, 4, 6, 8 etc., on aura
etc.
Soi!
a-H-^^' + ^ar— + ^-»-f ... = 0 (i)
lïquation dont les racines sont cos — — , cos ^-r, ...cos- — -, on trouvera n 2w+l' 2n+l'
aisément par ce qui précède
^i— ï> ^« 4 -> — g—» A — Tr' — fTâ — clc:
et en substituant ces valeurs dans l'équation (i), on obtiendra l'équation (73) de l'auteur.
Pag. 148. 6 = J/(«« + c*)
Pag. 149. Des équations (19) et (20) on voit aisément que (f(m<a ± a) = ± (— l)*.ço,
a"(na* ;£<*) = ± ( — l)".«p«;
donc en mettant nos* + a au lieu de « dans la première équation on a
y(«W±»0i±«)=±(-l)"-V("oi+«) = ±(-l)-+-.V«- Pag. 1S4. La valeur x = — a + (2«i+ l)w -f- (2»+ l)oi qni satisfait
à l'équation tf (£+£) = ^, rend /-(^-)= i et ^(^-) = donc elle
représente la valeur de q>x — tpa sous la forme ~. Or la valeur de cette
fraction n'est pas égale à zéro, mais à — 2y«.
Pag. i64. En vertu de l'équation (22), f(mm-\-ntBi+«) = ( —
on a
= <-1)V(5£r+ 27+tw+ît!+i °0 en écrivant m poar 2w+ (2«+i)/».
/»flflr. f<?0. l".,V(f»)=V(— »)+u-(— «+1)+V(— «+2)+...-f v(-n-fAr-l)
i'jK" + »)= V(l +») + *(£+•) + •■• + »<*+ n),
- i. tf-(m-»l ) =- V (- n) - 1 ) - *(-«+2) ... - - 1 ).
Or on voit immédiatement que la somme de ces trois équations est la même chose que
£mV(m+lc) = vi— « + *)+ v(— + + - +
/7/. L'expression <p ((ï -f- ^g***"') etant identique avec l'expression (51) y ((— + lorsqu'on fait »i=2A et ,1 = 2*, il est clair que la première expression est une racine de l'équation y(2n+l);
= quelle que soit la valeur entière de k et de k'. Donc pour faire voir
que y (ji -f- 2 Ij^** °*) exprime une racine quelconque de cette équation, il
suffît de démontrer que toutes les valeurs de cette expression qu'on obtient en donnant a k et k k" toute valeur entière depuis — n jusqu'à -f - n sont différentes entre elles. En effet dans le cas contraire on aurait
d'où
s + = + + mw +
et de là
(l)-+ix=l
2^ = 2/' 4- (2w-f-l),i/, donc 2(k — l) = (2n-\-i)m-, donc tu doit être un nombre pair. Or k et / étant compris entre les limites — n et -\-n, la plus grande valeur numérique de 2(Ar — Z) est 4w; mais m «'-tant un nombre pair, la plus petite valeur numérique de »i(2m-{-1) = 2(£ — /) est 4/<-f 2, ce qui est absurde. Donc efc.
Pag. £73. On voit par l'équation (68) que l'équation (80) est du degré 2» + 1.
Pag. £74. Soit pour abréger V (Cv.-\-V{c* — I>l'+x))=- P^ on aura
(2»+ 1) v (,» + = <Fiii + + K^-^r1))-
iflj. Si am = a^ il faut que «— n — 1 ou «— ^+1 et par suite
que «*<— — 1 soit divisible par 2/i-f-l. Or »i<», donc m — /*■<»;
donc 2(/« — /i)<2/i. Ou en conclut que — — 1 n'est pas divisible par 2»-f-l, en remarquant que « est une racine primitive du nombre 2«+l. Donc il est impossible que am = a^.
On a ■ = k, k étant un entier, donc
Or a étant une racine primitive du nombre 2»+l, «-—1 n'est pas divisible par 2»+ 1, il faut donc que
-£±l- = an entier = A.;
donc
a~ = (2n+l)km — 1.
Pag. fS3.
K*»:=9>V)+eV(«0-B*V(«2*) +• • •+ pVK')+- •+ 6("-1)*.9a(«"-,<).
En mettant ici «"« an lieu de t, il vient
^^V(f)4-«(---+1)*.9,(«) + - -===0--*.K«'to en remarquant que G» = l et = ç>*(«-<).
Pag. i88. On a en général
Faisant j(ib) = y(m,/<), on aura
a no
Donc
-Br -B -B -nn 1
En posant successivement dans l'équation (a) 1. jOu) = v(0, /i),
on aura
Substituant dans l'équation (,5). on trouvera
^i.^KM)=V(0,0)+i|1(^(0,/i)-f-v»(0,— ,,))+i(v(m,0)-fy(-w»,0))j
En mettant dans cette équation log tf (m, /j) à la plaee de V'(w» /<)> *t rentrant ensuite des logarithmes aux nombres, ou aura
hJljvM = y(0,0) • (0,«) • V'(0, — «) . TT.Y foO) . V( — w,0)
Si dans l'équation (y) on fait v(m,u)=(— i)-+*.<p "^TT)' 0n voitai"
sèment que ^4 = — — s— £!- pour /* = — -] — 9? 2 2
189. Voyez les équations (22) et (16). Pag. 191. L'équation (13) donne 9(t»+«)-9(P-«) = \ 9*«/ . Si dans l'équation (18) q> (a — y). 9 (« + = — ~, on met a + £
au lieu de a, on en tirera 1 + e V^b . ç> •/? = 1
.y(fr+q).(p(ft— <x) 9*»
Si dans l'équation (16) *• ^ = — /"(« + y), au lieu de ça et Fa on mot leur valeurs en fa, on en tirera
et de là
ça =
cette valeur de ç'a, et 1 — /" V au lieu de c*q> *ft, dans l'équation (14) fiP + a)-f(P «) = 1~c*9*g— C*99P— g,c,9*«»9a&
Si dans la dernière des équations (18) on met « + - à la place de a, on aura /" (a + . /(« + ») = 1 . a l'aide de cette équation on peut
chasser — de l'équation ci-dessus par où on obtiendra
/(ji+q)./(E-,.) Ht**)
Ht»)
On trouvera de plus
En substituant ces valeurs de F*a et ç>a«, et mettant F*^~1 pour ç>V dans l'équation (14)
il viendra
fc* + «) . Ftp — «) = — v y •
En éliminant y de cette équation et de celle-ci
od obtiendra la dernière équation de la page 191.
Pag. 194, Les formules de la page 193 donnent
J\2n+l+iJ 9 \2+ 2 în+1/ ç«(™'+u 4 "» )
7 V 2 + 2» + l / 9 \2 2 + 2» + l / /« en- i»«+uai\
xfifr i *■ 9a(-2+-27rn->) 9'(2+-2^r)
7 V2 + 2»+l ) 9 V2 + 2 + 2"+l / % /± nà mu^pA
9 V2 + 2+27TiT/
En faisant /S = 0, on aura
l b*^ 9 ^"'"âi+î/
«'"''■(fï'â)
-4/t» nm-puat ^ e* ^ OTu — p,pi*^
Ea divisant I avant-dernière de ces équations par la dernière, on obtiendra l'expression de la fonction /"(2m +1),*. Par un procédé tout semblable
on trouve l'expression de F(2w+1)/?.
Pag. £93. L'équation (18) donne
donc
(«+wo+n.ot\ I 1 i 1
2»+l / ee (QL+mu+jLai u ai\ ec /g-fo-m+Du-fo-ji+^iV
Ç\2S71 2~YJ 9V 2« + l y
et, en remarquant que p(« — H.)= — y (a -f- y), y (u — ^)==— <p(«+ ^)' / a+mu — (îcîiN i 1
*A 2« +1 7 ~~ 17 " ^ ^g-(H-llH-j)M+(>l-p.-Kj)o.y
/ a — wu4[xo/\ 1
Ç V 2» + ï~ / «T* ^ ^a+(«— w+^)Q-(»-nn4)oiy
De ces équations on tire
Pag £97. Lorsque * = ?(«), on a a =f0'v,(l e^)(l+e.xty ^nc ^ = (1 — (c^-f e>»+ «Vx1)4 = 1 + i<c»4- e*)** -f- . . .
d'où en intégrant
en remarquant que la constante arbitraire due à l'intégration se réduit à «éro, puisque a s'évanouit en même temps que x. On tire de là
7 = l + ;(e»+cs).™+...
Donc faisant x converger vers zéro
£ = JL = 1 pour .r = 0.
Cela posé, en remarquant que = — il est clair que le développe-
ment de (pat suivant les puissances de a ne peut contenir que les impaires de «. Donc
(pu = «a -f ôa» -f- <?a» -f- . . .
et pareeque -Ç. — 1 pour « =0, on a a = 1 ; donc
tpa = a -f bu* -f cet6 -f- . . .
2»+!/ 2» + l^(2»+l)»' vers une limite finie pour des valeurs toujours croissantes de ».
Pag. i98. Si n'a pas zéro pour limite, il s'en suit que =
"ÎbVT* aura poar limite une 9uantité différente de zéro, quelle que soit la valeur da fj.
Pag. 200. En posant 0(«)~0(»+l)+0(» + 2)-H« + 3)H-...=JB0(») + 510'(n) + Z?a6'(») + ... où $•(») = ^1, 8» = etc., on aura en mettant n + 1 au lieu de »,
•(» + !) — K*+ 2) + 0(« + 3) — . . .= Z?0(« + 1) + fl^'f» + 1) -f-J»40'(«+l)+ . . . donc en ajoutant membre à membre
0(ii)=^l(ji) + K* + l)) + *1(0t») + «1» + l)) + ^»)+^ii + l)) + ... Or
On tire de là en substituant et réduisant
0(») = 2Bî(n) + BV(n) -f ^{71) + . . . • +2fl18'(»)+ Z?^) -f- . . .
+22?Br(») + . . .
On en conclut 2/1 = 1, donc B =£, J?-f 22?, = 0, donc = — ^4-^4-2^ = 0, donc J?a=0, etc.
donc 0(») — 0(»-f- l) + 0(n+2)— ...=je(w) — ^0'(n) + 5,e"(») + . . . i?0J. L'auteur dit que la limite de la quantité
^V(i^)+f.HK^)+^)]+^[^)+^)]}
est égale à zéro, et qu'on aura par suite.
/,« = lim(-l)-i-ii>v 1 1 K
Or le premier énoncé n'est pas juste, et par conséquent ni le second non plus; mais la faute résultant du premier, est détruite par celle du seconde, de sorte que le résultat, c'est-à-dire l'équation (160) se trouve juste. C'est ce que nous allons voir.
Considérons d'abord la quantité
tdfi ( 1 r r f(^A L. f(^)] = (-j): s a/(«^Mgjï)
Soit pour abréger /?
ou a
Soit y le plus grand nombre entier compris dans J/», on aura
où 72 est une quantité finie.
Vn, il est clair que Iim—R^ e8t de la forme vm, ayant pour limite zéro. On tire de là
où k = ou . w~^~~1 selon que n — v est pair ou impair; dans le
premier cas on a B = 0 et dans le second = 1. Donc
(^i(i2v+1 i?^+...(i)^)=±(ir (-^^)>
et de là
dont la limite est évidemment zéro.
Au contraire la limite de la quantité
n'est pas zéro, mais une quantité finie indépendante de a, et comprise entre les limites 1 et -.
En effet soit pour abréger f{^f)
on a
Or on voit aisément que cette équation peut être mise sous la forme
^-«'(KïX^-Trâjr.iV].
où est une quantité Gnie pour toute valeur de /i ainsi que sa limite pour des valeurs toujours croissantes de n. On aura donc
Maintenant /*(^^) est compris entre les limites 1 et donc
est compris entre les limites £» et 2n.y. La quantité P^ étant finie, on a
* 1 * nP
2^ P„. = nPt où P est fini; donc — ^21. Pv.~-ji, — tît do0* la limite i •*• (2*+l)* , M. 11 (2*+l)s
est zéro. On voit par là que
où C est une quantité moyenne entre les limites 1 et ~. Donc en faisant m croître à l'inûni
quantité indépendante de a, comme nous l'avons dit plus haut
Venons maintenant à la détermination de la limite de la fonction
La dernière des équations (18) donne
et l'équaUon (16), + = — 6. g, en y mettant « — ± — SÎ. à la place de f, devient
'(— r)— •■7ÇZ|^)-»-^t-.)'
on tire de là
La première des équations (18) donne
donc
A = fc.,(5+-.).
Le produit de ces deux équations donne, après avoir divisé les deux membres par e*<3,
MI+T-) -'(î+f — )'
on trouve de plus
Cette équation donne la râleur de y (m, //). (m+j)»-«-((i.-Hi)q/ s.
*Tâ — 2» Ti ' on aura
(ll,+1)((2n+l)» (*»+!)*)
ne . ,y 9,(^)ç<^)
ou bien en Taisant pour abréger g^=A
V9 9V2n+l/ (λ+1)»J Maintenant en remarquant que
*"-»'(^t) 91 *[*'*-*<râ)] '
^(2srr)=1+(èÎF
v Vï«+l/ (J«+I)»^(2«+l)« #
on A et i? sont finis»
il est clair qae R. peut ctre mis sous la forme
p Fk 1 ■ r.
donc, en remarquant que j^-= =*+ j^|> on anra en faisant pour
abréger*^- = A
On tire de là
d r Fk F(k+r) / 1 î \ , e
«pi ç(*+0 — ç**+ç*/*.j»».ç/ r armais F*A — 1, donc
Fk F(k+Q /A.ç/ „
Ç(*+0 ç** + 9*./A. /-*.<?/ ^2«Ti' de cette équation est de la forme
en remarquant que 9/= 7 = ^^î> où A est fini.
Déplus î-=__L = i4-!L- i ■ «
On conclut de là
Cette équation a lieu, soit que la limite de ^j^- soit finie ou séro. Dans
le dernier cas on a
fk 1 k*fk— 9U k*(l+M*)—k*—Bk* ^-J
ç»* k* ~~ k*<?*k k*(k*+Bk*) ~~l+Bk*'
Or on trouvera aisément que lim (A — B)=s — Donc dans tons >
les cas la quantité Rm — Rm+X est de la forme
î« + l ' *n+V où ÂM est différent de zéro.
Cela posé, considérons l'expression
t|- = I- zhi + • • • +(-nr*->-
En vertu de ce qui précède, on a
T|-ëT fi- = f (^^ + ^ + ^ + - + * + râ"
♦où A: est égal à n — 2 ou à n — 3 selon que » est pair ou impair; dans le premier cas on a B = Q et dans le second Z?= Dans l'un et l'autre
cas on aura
où A'y. est indépendant de «.
Donc
2 v <-JUl n =1 . 4. r •
et par suite
donc faisant h croître à l'inBni,
où ^" est indépendant de (f.
C'est-à-dire l'expression
est indépendante de a.
En changeant le signe de t, on voit de même que la quantité
est indépendante de «.
On conclut de là que
lin» £*2m{— !)-(#*, *0 + = v l'I-J— l)-(0(w,i«)+ <>>,«))+*;
étant indépendant de a.
En vertu de ce qui précède, la dernière équation de la page 202 donne
En substituant ici les valeurs de Q(m,/f) et O^m,^) et en réduisant, on aura fu= + C4-K4--2: (£' (—1)- ^<mH)»3 V- 2[aHm-4)o] |
Faisant maintenant « = ^ , on trouvera ^ C -f- AT = 0, ce qui donne l'équation (161) de la page 204.
Pag. 204. L'équation (162) peut aussi se déduire de (161) en chant géant «, e, w, o, /*(«») respectivement en ai, c, o, w, /a.
Pag. 207. On a en général 21 = 1 -f
(mut [JloiV *)'* . (wm+jUM + i1)4
(2nfl)« + Jl' (2«+l)4
(mo + |x«ai+<)*
j + ^ (mu -f |j.gi + *)» . j
(2» + 1 )* ^ (nto + \Loi +k)*
J* 209. Aïa»,i;9(^) = 9(l) + 8(I)+...+ ,(i)) on en tire
Soit -t = x, on aura
en faisant » infini
liml20(x)=/e(*)rfr, Pag. 212. Il faut ici se rappeler que IIji>{n—nt) =zHj?(m— 1), donc
ç » ^(»-m+è)u-K»-lH4)p»j
Pagr. 444. Voyez Ctwcky Coure d'analyse de l'école royale polytechnique pag. 568 et 570.
Pag. 21*. tang(c+ft).tang(a-0).cot'6 = ;^-;;;;t6 .
V tinH )
V «ln«* /' co.»A
Pagr. 4f 7. On a (voyez pag. 574 de l'ouvrage cité ci-dessus de 31. Cauchy)
Par cette formule il est clair qu'on aura
(Ztt- + l)alS*
où est déterminé par l'équation
- ' pour 1 + 7-*£rT = 0,
or cette valeur do At^+l est de la forme §; donc
d'où l'on tire en réduisant
donc en substituant cette valeur dans l'équation ci-dessus, on obtient
* £ / iw (ty+ljic
Pag. 221. En remarquant que — = -S1» , on voifaisé-
ment qu'on pourra aussi mettre la valeur de y sous la forme suivante « ~ j *«" . *V ■ h* ■
Pag. 223 Tout nombre premier de la forme 4f-f 1 est une somme de deux carrés. Voyez Legendre théorie des nombre pag. 60 ou pag. 178.
i>agr. 4*0. On voit que v est une fonction rationnelle de Q et 1, en se rappelant que les coeffîciens de l'équation R = 0 sont de la forme A-\- B Y — 1> où A et Z? sont des nombres rationnels.
Pag. 229. 11 faut observer que les nombres nlt w,,... doivent être
différents entre eux, car si p. ex. 7*^ = on aurait "j* -f- — ^- =
1+îV I+ïN i+îV Donc la valeur de la fonction <p (j^-j ne peut pas être exprimée par des racines carrées, si » contient un facteur de la forme (l-}-2"')^ p étant pins grand que l'unité.
Pag. 255. La valeur de pour « = 0 se tire de l'équation (235). Pag. 25iS. On a et=± î— et y=*y*, donc^^-^,
l±et^=l p—. Si maintenant dans l'équation (237) on fait f=^
on aura
Digitizecjfby Googl
en remarquant qu'en vertu de (250) on a <p
et que ç = ~. . Donc
l±<Vy==(l + <*r).y, et en changeant le signe de »
Pag. 236. Les équations (238) et et 243) donnent
donc en remarquant que () est seulement du degré 2h, on voit que le coefficient de x**1 dans cette expression de R est
9,* " (ç<x.ç2a..-9»<x)* Çl (») =J- et = ± ±. en vertu de (247) et (251).
239. L'équation (273) se tire de (272) et (268). J%. 2*0. L'auteur dit que est positif par ce que U, est réel,
mais il me semble que tti pourrait être réel quand même la quantité Y(jE^i ) serait négative, car en vertu de (249) on a Ul = ± q x«) ' La raison
pourquoi ]/(|~^) est toujours posMf c'est que y est égal à zéro en même
temps que x, que y^ — x1) et V(\— ya) sont tous deux positifs lorsque * et y sont très petits, et enfin que y devient égal à l'unité en même temps que x. En effet l'équation (271) donne pour x= 1
v [• (£r)]-[' * (sr»
Or 1 — </>'« = /••« et 1 + «V« = donc
de plus -~- = <rç> (a -\- y) = «p (a -J- y), c étant = 1, donc
'=^(ï+isrMï+^r)-v(ï+^).
/"= ï , donc
y Vl 2»+l / 9 V 2 2»+l / 9 V 2 2» + 1 /
9Vfcn-l 2/ 9 \2*»+l 2/ 9 \ 2H4-1 2/ Or a est facile de voir que cette fraction est égale à l'unité, en remar-
voit qu'en donnant à /* toutes les valeurs entières depuis 1 jusqu'à n, les facteurs du numérateur seront les mêmes que ceux du dénominateur, mais dans l'ordre inverse. Donc x = 1 donne y = 1.
Pag. 24 i. En faisant dans l'équation (271) x = </> (ÏL) et ayant
égard à la valeur de f, on voit que cette valeur de x donne y == (— 1)-. En
effet, soit pour abréger = «, on a
= 9 ((2/4 + 1) |) . y ((£/«-!) |), donc
* = H)^?f9y.9f<fy-9y.--9(2»+l)fv(2«-l)f
or 9 (2» + 1) «= , | = 1, et Vi = ^.(» y •» ^ • • ■ — *)y)" donc y = (— 1)".
Suivant la définition de la fonction 90 on a
a — f'—rr, —— lorsque x — tfa\ donc
4[ „/*9T ds n a au
J^\(x)dx=— J*o\(x)dx, lorsque tp(— *) = — y(*). L'expression de y (280) s'obtient en éliminant f de (271) et (272), et* en mettant ensnite pour o.( — 1)* sa valeur (2«-}-i). — •
Dans le cas « = l'équation (263) donnera en y faisant c = rl = l
Soit m. 2// = (2»-f-l)£ ^ «» où t est entier, et am entier positif et moindre que
2r+1 — s—, on aura
Ou peut donc écrire la valeur de — comme suit: Pag. 242. On a
en remarquant que <p (m . Jïï* ) = , (foi + =± 9 lorsque
».^ = (2»+1)^b.. Or
Pag. 245. La première des équations (284) donne
= - - ^ — -= — = ynr; * = 9> (4^-) doane
r / 1 u\ /2ii — 1 o\TJ
ibstituant la valeur de 0",
et par suite x=w ( ,Q ■} donne z= — •
Lorsque x = z\f — 1, 2 = 0 donne x = 0 et y =0, et 2 = y donne
*= J^-i et, en faisant pour abréger =«,
1 (gya+1)(«V*a+1) . . . (««?«««+!) .
en substituant la valeur de -jL et ayant égard à la formule
/>ap. *Sf. L'expression de i- se tire de (248),
Lorsque a = et m = — 1, on a a = —
> (ï + •) = * 0=ir ' ï> + -»)=- »(^r- t>
etc.
Pay. £52. Si l'on fait dans l'équation (257) <? = i et «■ = — A», on a (— A*)*.(a>a.a)2a...ç'na),.c'e.ç(e-fo).çi(f-f-2o)...a>(é+«îio)|
=a,«+0>(e + °)-hsKf + • • • + a>(« + 2»«)'
où g=BC^(«-^. Si l'on fait m = ^ =- 1, on aura «=- ^ et par suite
fr..*. . • • *»«)•= (, ^- . . . , (b)
En faisant maintenant « = u. on aura
9 (f + "H^" a)=—9,(ï) =~1 ,ors<nie » e8t ,mPair
et 9> (« + «) = 1 lorsque n est pair. On tire de là qie.<p(i + a).<p(e -}- 2«) ...?(*-(- 2»k) = >
± Msstt) • ï)- * (sÊr î) • • • » (^r • f )]* !
Donc si l'on fait ç> • £) = sinO'^>, on tirera des équations (a), (b)et(c)
(—*«)-. (sin 8". sin 6". . . sin9'*">)*(sin9\sin<r . . . sinO'*"-1')')
= ± 2(i — sin 6' -f sin 0" — ... ± sin 0f a-1>) ) Si Ton fait ensuite f = J-. ^--f- ^--f- 5*, en se rappelant que
H 2*+l " 2/ *-Ç»(* + a) = 1 lorsque » est impair
et k.<p(t + «)= — 1 lorsque n est pair.
Donc
*—.^.v(,+«).T(,+2«)...<rO+2««)= 31 t <«)
Donc on tirera «les équations (a), (b), (e( et (f):
Donc l'identité des deux expressions de fi, celle de Mr. Jaeobi et celle de l'auteur est démontrée. Si l'on divise l'équation (d) membre à membre par l'équation il viendra
A*», (sin V . sip 9- • - • sin 0' — T = --^ - ^ t + ' ' ' T''"'f^*» , ■
com-c*' — cosic 5"' -, -f cosecd 1 1 ) + .1
En multipliant cette équation de part et d'autre par /.", on aura l'égalité des deux expressions de /..
Pag. Soff. Dans l'équation
fp'-f'p ^
' Lv ^-tc,/' A S' •«• j> A ff'+e,/' A g-f./vJ , „
— ±R v [(L-c^HI-*^)]' soit pour abréger -^ ^IJl = ./ et les coefficiens de x sous
le radical du premier membre suivant leur ordre k. /<', /, /', on aura A--{ l — r»j-«)( 1 — « V) = ««( 1 -f 1 + 1 + /*)( 1 + /M ).
(.+ M (. + !■-)= i + ■ * + ^lE^r
Soit de plus pour abréger
on aura
On lire de cette équation
