C+BB
En éliminant B< des équations B+B< = 0 et BC+BC = 0, on obtient
donc, on B = 0 = B', ou O (7 = 0.
Soit d'abord B = 0 = B', on aura
9f—*\f' = 0 et gf—etf' = 0.
Ces deux équations donnent, en remarquant que <?, ne doit pas être égal à e
99' = 0 et/' = 0.
On en conclut, ou g = 0 et f — 0
ou = 0 et f = 0, car y et f ne peuvent pas être égaux à aéro à la fois, ni g> et f, puisque ces valeurs rendraient y constant
a) g=0 etf'=Q donne C= — C = — «»—/!
ou *»=flet ou c' = — et «' — e>
«l'où l'on tire
b) g> = 0 et /-=0 donne les mêmes valeurs pour et e] que dans le cas précédent, et pour y celle-ci
Si # est différent de zéro, on aura C s= C et B> = — B, c'est-à-dire
Ct ff" -W ~ g"-",/" ~ (t) En élimioant successivement c\ et e* de ces équations et remarquant que fg1 — f'g ne peut pas être égal à zéro par ce que cela rendrait y on obtiendra
2/>7 + (/J7H-^)JÎ + 2/'yC = 0, (s)
fy+fy c=o, (o)
et en retranchant (£) de (ij) et remarquant que est différent de zéro, on
#+/> = 0. (/) Les deux dernières équations donnent
Substituant ces valeurs dans les équations (*) on aura
g*-*V* 1 vc d'où l'on tire en ajoutant et réduisant
t = e\e\f** donc ^ = ± if) Maintenant les équations (/?) donnent, lorsque B est différent de zéro:
ou B — -£(c -|- e) et alors C — ce,\
ou B = ±(c — e) et alors C — — ce) ^
Supposons d'abord ^B = c-\-e,VC~Vce) substituons ces valeurs daus
(À) et pour g* la valeur e^f*, nous en tirerons
VTë^vw 1 în' onaara
1 mVy'c+v'»/'
Des équations (*) et (p) on tire
lj)*-c\r)(3«-e\n = - e^-el^'f\ donc (fg--~fg)% *~
Or les équations ({) donnent ex — r, = — . ^£L; donc on trouvera
En substituant dans l'équation
les valeurs de f', g' et ^r, et réduisant on aura
y - ± " VrqF jt^J "
Les équation (x), (/.), (//) et (») montrent qu'on peut prendre les r, e, l^c, y e avec quel signe qu'on voudra. En remarquant que les q quantités f', ft g', g, elt et ne doivent satisfaire qu'à 5 équations (fi), on peut les faire dépendre d'une quantité indéterminée m.
Pag 261. L'équation (28) a lieu non seulement pour une valeur quelconque de 6, mais aussi pour une valeur quelconque de à. (Voyez l'équation (257) pag. 252).
Pag. 265. En vertu de (52) on a 1 — f $ = — , où P est une fonction du degré 2/i-f-l, on aura donc en diflférentiant
„• A- if™? Pi^y
v ' ds c, \ rfj v dx /'
or p étant du degré 2w, il est clair que P*--^ est dn degré 4m. Que cette
fonction est divisible par t et f, on en trouve la démonstration pag. 255.
Pag. 26iS. Lorsque «, = on aura «K= car ;(&+«) «tant
une quelconque des quantités /.(ô-f-c^), *(Q-f-«,) etc. on sait que A(0-f sera
égale à l'une d'entre elles. Donc si a, = A (o -f sera une de
ces fonctions pour toute valeur entière de p.
La valeur de k se déduit de la première des équations (47). La valeur de e, se trouve en divisant la 1" par la 2* des équations (47) et remarquant
qu'en vertu de (18) et (16) on a ^ = ecX\± — 8j.
(41) donne
a == {).ax . ;.oa . . . Aa,,)4.
Soi. po»r .bréger x(^. f).!^. *)...<£=£.. = * .. .
* = 6.eJb\j!V\ donc
(\a, .Xa, . . . Xa.)*
or 6 = (Aa, . Aa4 . . . Aa,)*, donc lorsque a, =
Xn+1 »
,P(ctKct)->(to-)|;
donc en substituant la valeur de N et remarquant que A (g^i. »)=A(^±î..w)f on aura l'expression de a.
L'expression de y se trouve en substituant dans (45) la valeur de «t et celle de k.
Pag. 267. A(0-{-«) et A(0 + a,) étant deux quelconques des fonctions A où « et «, sont de la forme fi(o-\-fi'<û\ fi et fi' étant des nombres rationnels, on sait (Théorème IV) que /(O+Ayt + Vi) oi> *» *» «»t des nombres entiers quelconques, sera de même l'une d'entre elles. Donc a étant égal à
^- et «t égal à £-f- ii-, on en conclut, en faisant A, = 1 et *,=— 1,
que A (o -f- ^--f -|L— -^^-) — *(« + «) se trouvera nécessairement parmi ces fonctions.
À(0+^) = i^-. l(voyex 19). L'équaUon (55) se tire de (24), (25), (26).
Pag. 268. On obtiendra l'équation (61) en faisant dans (24) et (26) <=-^Y^-» *— — (~^~) et en conc,uant comme on l'a fait pour obtenir l'expresBion de 1 — <r^3.
La valeur de a est
✓(*"-**./ iKff**-cV*) ' or f=g>=0, donc a = :f = ;
mais (voyez (I I)) etct = donc a = ^ .
Lorsqu'on fait n = 0, e, = c = 1, /? = -f- 4p on trouvera
•,(») = l+l, l=*(l + l), donc * = (vo,. 6S)
donc
V(^)==«2,(-21) = ±^. Ea effet on a Faisant donc 9 = L— , aO = a ^— ^— j = x, on aura
'(^)-WK'7.y"°i.
el par suite 1— (V=0, d'oo * = ± J- = '(^0 • On aura par conséquent ex = •
*V 269. On a A0= — ;.«, + «) et i(H + a)+ ;.(9 — «)= — 0+«) |A(9«)); donc y(— 0) = — yÔ = »8» et par conséquent <p9 = 0.
On sait qu'en nommant la somme des racines d'une équation algébrique du m"* degré, S% la somme de leurs carrés, At le coefficient de *— A% le coefficient de on aura
donc lorsque = 0,
^, = — ^ = !(/■'— ^Jf)-
La formule (6S) est démontrée dans le mémoire suivant pag. 279. Pag. 273. En faisant î=-j^y on aura
en remarquant que ** = 1 — e*.
JÎ76\ Lorsque W — Â9 on en tire
6' = ( — 0 -f- fKa -f- + o — 1), c'est-à-dire 9' = (— l)rHH . 9 + (/i + /i')a» -f (i'oV—1 ; m faisant /i -)-/*' — «i, fi' = m',
ô' = ( — l)-.0-)-»ir)+»t'aVr — 1-
Pag. 280. x = V(l— y1) donne
d* 1 dy ,
✓Ki-,«)(i-c»,«)] — y ✓[(i-,«)(i+«y)]' donc
c'est-*- dire b. ~=
0n a f =/ ' v tC^-i^-Ox»)] V ki-^hi-^V)] en fal8ant — V(i-^V) ' Si lon fait Xs=V(l+**)> on ^vera
✓[u*-i)(i-*«x«)]— y„ v [<»+»«)(»-«*•*)] — x */[(i-.**xi-*,*,)r
c'est-à-dire -Ç- = 0.|-.
En mettant b(~ — a) an lien de a dans l'équation (28) et réduisant, il viendra successivement:
1 + r«-+» y/ (I -r'-H-')«-(r-*-r-+'|-')« VI * ~~ V-L\ -/ V (1 + r"»+1)» + (r«* — r-H-'f-')» 'J'
, fj \( 1 -h r'»+» ^ y 1 — r*"*» + r*~+* — r*»+*f-» V|
" ~~ V- IA 1 — r*-H-' / V 1 + r*-t* + r*-+» + r»-H-»f» /J 5
Xa—TT [Y 1 + Vf 0 -^"^)C -r'-H-'f») NI
— «.^ftoti; V(i+r'-^)(i+rwt-.);>
ce qui est l'équation (54) de l'auteur en faisant
Pfl^r. iWM. L'équation (36) peut s'écrire ainsi:
Ao = J . V (a ~) . j&. y (»mû> a) £ . ¥'(«<» — a) J . En y mettant 0 -f- £ o> à la place de a on aura
»(,+ J.)=Af(,+i.)£^(H.£)H.,]i.f[(».i>,]iI
c'est-à-dire
On en conclut en faisant pour abréger— = k
donc en développant
SX»+-î »)=^--J7tlv^ûJl+^. T((»+/«K+*)*.'rC(««-h«)-.-M)* • • •
X^((«-//)Ul-^)*.V((2«-/i)Wl-d)A.V)((3n-Ai)»1-d)Ar...
mi
J7ttV,((»+/')«1+<5)^77llv'0/».+'')*;irilv((2»+^)«.+'')*=7I vCa^-f^etc. donc
fi^O*», + <>)*. <f((»+/'K + *)*• f((2» + /'K + «)* • • •
on aura de même
ce qui est la formule (37).
En faisant = x on aura
Cette formule, en remarquant que A (o-f^Ji = x(îj± — o), et, si » est un nombre pair, que le produit ;.ô.A(o + £).../(e+.^w) contiendra le
facteur *(^ + e) = }/( i-~X» )' donne ,e8 é9uation8 t43) et (**)•
. Pag. 283. Si dans l'équation (34) on fait a = ^, on aura =: 1 et < = r*, donc
1 = Al . ... I (a)
En vertu de l'équation 0ù
* "~ Jo ✓[(l-'»)(l-c«^)] '
on trouvera, en posant dans l'équation (34) a = -|- Y~ 1,
?.u = —, t = — rlY— 1 ; donc (* = — r, et par là 1 1 + r» 1 + r* y ,
Les équations (a) et (b) donnent ^ = et par suite A = 1— .
Pag. 286. Les équations (a) et (b) ci-dessus donnent immédiatement
V c= — - . ... ou r = e
-Tt.
de cette formule on obtient la valeur de yb en échangeant <x> et a entre eux.
Pag. 291. On a ~ - = — X— -, donc
9 Fa A{a— x,)(a— xa) . . . (at —
Fol — (a-x,)F'x, ^ (a-xs)*"xs ^'"^ (a-x^)^
donc
^KT (a— x,)/"*/ ^ (x— a)* \r
La fonctiOD av „ étant de là forme
— r— ; — CUUt UC IM IVIUIC -
le développement de cette fonction selon les puissances ascendantes de y sera de la forme
donc J7^~=0, pétant >0.
Pag. 293 Si l'on suppose fx = «a- -f- «,0--' + <*,*"-« -f- .... le degré de cette fonction étant moindre que la moitié de celui de fx, on doit avoir
Yifx = (Sx**-1 -f- (ixx- +
donC (x-{v^=^rH----,etpar suite
(jr — a) /
Pag. 294. L'auteur dit (7) que le second membre de l'équation (29) se réduit à une constante, lorsque le degré de (fx)* est moindre que celui de <px; mais cela ne suffit pas. Si le second membre de (29) doit se réduire à une constante, le degré de (fx)*, augmenté de deux unités, doit être moindre que celui de yx, car les relations entre v' et v, établies dans le théorème VT, sont nécessaires.
Pag. 296. Le nombre des indéterminées a^, «r , ...r0, cx,... est égal à m-\-n +2, mais on pcnt diviser les deux membres de l'équation (3) par l'une quelconque de ces quantités, de sorte qu'après cette division le nombre des indéterminées se réduit à m-j-«+i.
Pag. 299. Les équations (16) et (17) de la page 148
f(» — bec} — 9<*«) ■✓('+«') «VP+«») —ia=x '\t )— ✓[l+**ç*(**)3 ✓(l+«,«>*) '
en faisant pour abréger <p(ba) = v.
On tire de là
dv h<ls
/[(l-«"Kl +••»«)] ~" ✓[(l-x*Xl-c«x«)]'
donc f- dv — b f **
Jo ✓L(i-"*Ki+»9«'*)] ~~ ✓[(i-x«)(i-««x»)]
et
y'1 de . ds . pT o y [(1 -*»)(! + ,*«,*)] — J* V[(l-*»)(l-c«x«)] — Vo
✓(l-c».in*») — ï
On a en général
J^yx.dx = J '* \'(mx).mdx,
et par suite
y*1 ds /» e cds m
» 1/C(1-**XI— ~Jo ✓[(! -•«*•)(!-€•*•)] ''
or ex = J « en faisant eu = m.
On en tire
y*« eds 2./*" —
o V\l\— c*s*)(l — c***)] — bJt> ^[(l + u*)(l — «*««)]'
et de la
/' ds 1 /• e <fe 1 O
, v[(i -,«)(t- •«,«)] — TJ o 7ÔÛ^)(i~e»«*)) —T'Y'
d'où
2 ~~ "o v[(l-xax^-**•',)] '
= + «V (y - *«)] = bF(T ~ ba)' Pag. 500. L'équation (9) est la même que l'équation (54) de la page
280. En faisant dans l'équation (184) p. 216, « = £ — 6«, on aura et de là en réduisant
«-^^-^.[(^■(^^ssî^1)]'
,(t i«i7 / i+r«-« y (.rl fTlrt|f (i-Pv)(i-p-v')(i -?v»)(i-?-v»)(ijj.v*).1A
— ï^'/Al-r*- J P n^(l+p«)(l+?-V«)(l+PV*)(l+p-«r*)(l+pV«).J
ou bien
3,ft 1 « 77 ^l+r»-^Ypr-*-p-'r*^ / (\-fr)(\-?-*r)(\-Pr*)(\-9-*r*) . . .\
0 — * ^ 'Y-vi-r^-yA i -p-v /V (i+p»)(i+p*r«Ki+p-*^K«+?*'-4Xi+?-*''4)- •>' :
or pH—p-i,-* — P7^' donc
A'9 = 1 — 77 / 1 + r— ' y p. r-* / (l PV)((-?-»r)(1--p»r»X1-p-*^) » • A *1t , -\ 1— r»- / 1+p* V(l+pV«)(l+p-V*)(l + pV4)(l+p-»r«).../'
Oa peut donc poser (10)
M = A> *p ( (l-pV)(l-p-V)(l-pV')(l-p-V«) ... A * l + ?» V (I +pVM(i+p- V*xi + ?*^4Xl + P'*'4) • • • ' ' où i<' est constant Si l'on fait 0 = 0, on aura »0 = 1 et ç—1, et par suite
d'où l'on tire I équation (12) de l'auteur.
En faisant dans l'équation (186) p. 216 a = £ — *0, on trouvera
d'où en réduisant
« - ^(P^' + <> ri) //.(klïTpV^,){l+?-ar,.) ; .
où 1? est constant. Donc en développant
^-fl^?-'^^ i / 0 +pVX' +P-M0 +pV')n +?-»>«) • • )
V l + p-V /. 1+p» ' V(l+pV*)(l+p-*r*)(i+P4'4Xl+P"*r*) - -
Donc en remarquant que iCα^- = pr-*, on peut poser (H) A-« = J» * f (' + pMP + p-QO » P«'»X' * P^') \
" 1 + p» V(l+pV*Kl+p-a'-*)(l+pV*)(l+p-*r*).../'
où A' est constant. Faisant 0 = 0, on aura A"0 = 6.F(^)=:Aï/'(l-f «*)=!, et (>= 1, donc
\=A>( (l->-rXl + r')(Ur»)...\» .
d'où l'on tire l'équation (13) de l'auteur.
Pag. SOL Ayant A« = /* - on a en faisant « = .£+|:f,
Q* = e tf = r.(C0Sîï — i gin ?r) = — }
On trouvera
« 1— r (l-r»)(l-r)(l-r»Xl— r»)...'
L'équation (12) donne
donc 4A'*Vr = ± , d'où A' = -2- J/ 1 .
Pa9 30*. p« = .
donc i p«=»1.
On a J= I±I
(l r)(l ra)(l ri). . . (l r.Xl-r«)(l r«) . . ,
= (1 + r)(l 4-0(1 + r») . . . == PP>.
(1 — r)(l r»Xl — '*)•••
503. Les formules (SU, 25, 26) que l'auteur a déduites des formules (10, 9, 11) peuvent, ce me semble, se tirer plus aisément des formules (189,
187, 188) pag. 218, 217. Si dans l'équation (189) on fait a = ~ — b . on aura fa = X (^*), ^=|-x, donc
(4cOi*.T \ '■ \ ... „ l <^±p l
V (f-<-»Hy-»)* '
= sin* 77 /'r<'h''H''>y/ (y»4-y")»~ *cog»j \ Y-V r» + î- 7 ' V (ç-(--*> + ç--*)* — 4 eo»»x / »
où 2f est indépendant de #.
Si Ton fait* = -|, on aura a(^)=/-(|— bÇ) = fO = 1, donc
Si Ton fait *=| + -^. on aura 8ina:=-9i±îl== -^1, gcosfcr
=-(? + <r), A(^-*)=r-r=7' donc
or /r.<l+î*-*1) = 1l-7/.,(l+î,-t) et ^(1+7*—) =2/7.(1+?-), donc
En multipliant cette équation membre à membre par l'équation (b) ci-dessus, on obtient
— = — -,- , d ou B = c 4ç* yc
Cette valeur de £ étant substituée dans l'équation (a) donne la formule (24)
de l'auteur.
Si dans l'équation (187) on fait et = J — b^x, on aura ça=A'(^*),
donc
A' (?Lx) = ± cos* J7 I 1(Ç=£Î! }, ou bien
Vit / it » )l 4co»«r r
K^)-*""?.(iégc:iî::^> «
ou B' est indépendant de x.
x = 0 donne l^B'.^^^-y.
— T + -T- T *- *<ï) 4-~* =ï • <*-rt
donc
et de là en réduisant
1 Œ * JT (l=dY, donc 1 = *1 = ±; dooc£' = 2l/A. y>
Cette valeur de fi' étant substituée dans l'équation (c) donne la formule (25) de l'auteur.
En faisant les mêmes substitutions dans l'équation (188) on aura
Il 4co«»-r ■>
où est constant
x = 0 do.De i- = i.F(i) = b.Vil + «*)= 1, doue
— I don». «Î-Kf ) = * F(| -»-f ) = »•»-». donc
^^^(iT^iy» r°n *»
è = /7«* ou JB'^K*.
Cette valeur de fi» étant substituée dans l'expression de A" (-^ *) ci-dessus
donne la formule (26) de l'auteur.
Pag. 304. On a
Or log(l -P0 = — (/>**" + + fc^e** +...),
log(l - fMT**)= — (/»*-*"+ • • •) ;
donc log(l — pc*") (1 — pe-*") = log(l — 2/» cos 2* + p«) — — 2(/> cos 2* + cos Ax + cos 6* + . . .).
On tire de là
i / 1 — 2qtm.co* 2j + q*m \ VI — 2<jïm~l . cos £r~+ q*^*) ~
2(o«-» .for— 1) cos2*+ iy*-». (9« — 1) cos 4*+ ^«-». eoe 6* + . . .).
Or en remarquant que 2Jmq*!"*~:> — — q
et que par suite
En changeant le signe de /> on aura log(l + 2/> cos 2* + p1) = 2(/> . cos2x — cos 4* -j- {p9 . cos &r — . . .).
On obtiendra par là et en remarquant que £ y»*- g.(yg+ 1) = - :
l0*r^5^^^i)=«(î*-'(9+< )««fcr-iï*— •(«•-l)«oS4x+i,-^.(9«+l)co^r-..) ;
De la même manière on trouvera
,0gVï^4ii;*:r^^w) =4<îw- cos£*+^-+>.cos6x+^<»-+*.cosiar+...) et de là
"4-(,pP:s^)=*(™«'t-v+i»'«-^+-)-
De ce qui précède on tirera immédiatement les formules (28), (29) et (30). Il faut observer que dans les formules (204) et (205) p. 219 la quantité r est la même chose que r~i dans les formules (55) et (36) ici.
Pag. 308. Ayant
— — It It
donc ^„ = log(l), £,=|og(l),
et de là
a- iog(y)
donc IQÏlog (1) = i«V"log (I),
ce qui est la formule de Mr. Cauchy.
Pag. 510. L'expression de c1 se tire des deux équations (47) p. 2G4 en divisant la première par la seconde, remarquant que -f-o).i(y — «)=i.,
*(£ + ô)=;i(£-9), ^«L + ^ltf-o), faisant c = c> = l et écrivant ensuite c pour *.
L'expression de a se tire de l'équation (il) p. 264. Cette équation donne en faisant c=l, écrivant c au lieu de c et substituant les valeurs de a,, a%...am
Les équations (47) donnent après les mômes substitutions, en faisant leur produit et substituant la valeur de b de (46),
donc
a = ~r k%a.PÇta)...P{na).
Pag. 515. ta1 — o> étant égal à ai on voit que ( " ) est réel; donc e et par suite c1 est réel pour cette valeur de a, en remarquant que
A (J -.Tt) = ' \ ,x est une quantité réelle.
Pag. 514. En vertu de l'équation ).*b=).*(b±ma>), où m est un entier, on a ^a-/ pi+(2[H-l)u \ . t / o/+2(w+ti.+1)o\ ^» / pf— 2(»— h)<j\. V 2»+l / V 2h+1 / V 2n+l /'
donc
,,/o/+o \ -a/tai+S(«+l)o\ ja/oi+3o\ .,/oi+2(»+2)o\ . 4/oiV(2»+l)o\ ai \
x vsïïïv— v în+i > * v*sïv— * 2»+i /-* l 2«+i y— x Vïiîr/
L'équation (12) est la même que l'équation (24) pag. 303 en faisant dans
celle-ci x= — 0.
En vertu du théorème de Moivre on a
En multipliant ces deux équations membre à membre il viendra
Faisant dans cette équation ar* = — 1. on aura
donc en substituant
2*» Y cos -!L . cos . . . cos ^-Y= i, V 2«+l 2»+l 2«+l / '
et de là
cos— ^-.cos-^r...cos-^L ==i-. (y) 2* + l 2n+I 2*+l 2" v/
En changeant le signe de x dans l'équation on aura
Cela posé, si l'on fait dans l'équation (12) successivement 0 = ~+o,y+2a,
• y + wa et « = j^j-, on aura
^'COÏ2^Tr+î l+2ç,.coi^-j- + ç»
SïT ' 2^+i
Donc en ayant égard ans équation» (y) et (d) on obtiendra
î(r + «)-i(î + fc)--i(¥ + ")-
2- / (yt(i»+-i) + 1)(y*<"+') + 1) . ■ • V (1 + fX* + y») . . . \
"Z" ' ~T^\ + JX^*"^1' +»)••• A (l+f«)(l + f *).../
Or (voyez l'équation (16) pag. 302 où le changement de b en c entraine celui de r en q)
V(l+9a)(l+î*)(l+î«).../ w Donc on déduit de là
Lorsque O=^±^,on aura +fl»)^,K*.cos(m.-^^
Donc si l'on fait pour abréger
q*~+* .â* — k, on aura
et de là 1 c*
Didfced b;
En remarquant maintenant que q = ktm+l et faisant pour abréger 2><2>!-}-i) s=o et (2v— l)(2n -f 1) = t, on trouvera en substituant réduisant et
[?.KT+-)]=^^'[?.''+*-»?-?.(::":x;,;:;:;)],i
en vertu de (é) ci-dessus on a
Multipliant les deux dernières équations membre par membre il viendra
Or on a
