Il -D -B
nj\ + A**4*-) = 7?(i -r-*n
JIji + — 7j (i -f-A*"),
donc n nji -h *9+to) = 27.(1
et par conséquent
De la même manière on aura
71 , 77Jl+A(a'(-,>(«-+,)+to)= 77Jl+A**+,+-)(l+A3 ""t1» +,-)(l +**<»-+»+«-) . . .
Jonc I7,J7Jl+A^-)=J7-(l + *»---1) (0)
En vertn des formules (ij) et (S) l'équation (;) deviendra
Or y = **-+*, donc y 4 et par suite q 4 .*-*-• = «.
On aura par conséquent
-^[Jj.i(ï + »«)]' = [£(£&)]••
Ëq substituant dans cette équation la valeur de A on a la formule (14) de l'auteur,
Pag. 3i6. Si daus l'équation (/}) on fait * = 1, on trouvera et de là
Cela posé, en faisant dans la formule (12) 0 = -JL- = «, on
A(„«) = ^.Ky.sin£I.?
Donc ayant égard aux formules (,î) et (/)
A«.A(2«)... *(»«)= v^)(?'''T">-l -ffg!hl^Yji.l!±.^ /,)
Si dans l'équation (12) on divise les deux membres par 0 et qu'on fasse ensuite 0=0, on obtiendra en remarquant que ^- = 1 pour 0 = 0:
En multipliant cette équation membre par membre par le carré de l'équation (x), on trouvera
Lorsque a = > on aura
|1— 2q . cot^w. — a.J+1* 1— îf'.cw^m.— a^+ç» l Or en faisant pour abréger comme précédemment
1 — 2^.cos(^ «) + f = - A"-) for - *--) ;
donc
c'est-à-dire
donc
Soit comme précédemment 2»(2»+l)=a, (2"— 1)(2»+ D=t on aura on tire de là en multipliant et remarquant que q * ./r*(,,+,) = A-*,
En traitant cette équation entièrement de la même manière que l'équation (£) ci-dessus, on trouvera
où k = q*'+\â».
Pag. 317. Le théorème portant le numéro XVUI est démontré dans le mémoire XXI.
Pag. 32i. Pour ?0 infini on a (f(2n + 1)8 = B<ft, où B est une constante; car le numérateur de la fraction rationnelle en çO qui exprime la valeur de la fonction g>(2n -j- 1)0 est d'un degré d'une unité plus élevé que le dénominateur.
Pag. 322. On a
V* = 2 S *(8 + ma +
V(0-f «) = j; JJ *(8 + (m + 1)« + W*>
Le second membre de la première équation contient le terme ir(0 4* fP) W** répond à m = 0 et qui ne se trouve pas dans le second membre de la dernière équation. Celui-ci au contraire contient le terme jr(0 -f- (2»* -f- l)ee -|- /i/J) répondant à m = 2n, et qui ne se trouve pas dans la première équation. Ces deux termes étant égaux, et tous les autres termes communs aux deux équations, il est clair que v0 = V(9 -f «)•
L'équation (1) y(2«-j-l)0=/?, peut se mettre sous la forme (voyez p. 187) (Ax****»' -f- . . . + Bx) — y(2n-^-l)9.(Cx*«-+l',-, + ... + />) = O, On voit par là que le coefficient de toute puissance impair de x est indépendant de 9, et que le coefficient de toute puissance paire de x contient le facteur <jp(2w-f-l)0. Donc la somme de toutes les racines est de la forme C.<f(Zn-\-\% où ,C est constant ; la somme de tous les produits de deux racines est indépendante de 0 etc., d'où il est clair que dans l'équation (16) A = 0 si le nombre des facteurs de jr& est impair, et B = O si ce nombre est pair.
Pag. 329. Les expressions de A(to) sont les mêmes que les expressions (44) et (33) pag. 303 et 30*. en remarquant que = dans ces
dernières formules signifie la mémo chose que b ~ ici, et que y = b.~ dans
les
formules citées est la même chose que b.~ ici. Eu ayant égard à ces
l'équation (9) pag. 300 deviendra:
HH t»H tilt 1*K rt*
" ' ■ rtlt »<1t M7E Mit
1+/" l + ~*~ l+/>**<* l+^««"~ir l + p**"»" En mettant ici y — 0© a la place de 0 et remarquant que e *»v» /=/»««», on aura l'expression de I (y — Ow).
Pay. 55/. Pour les expressions de J/V, voyez les équations (16) et (14) pag. 302 et 301.
Pag, 335. L'équation A'(*a—*e + o) = ;.'(*9+a) donne *o — *e + a = (— îySO (— 1)- a + w'o' -f- /i'w'i, où m' et /i' sont des entiers; on en tire
a(l— (— i)"') = ((—1)" + *)'• + m'°' — *a + H faut donc que m' soit un nombre impair 2ft -\- 1 ; donc en remarquant que <o = «no', on aura
2a = (2/4 + 1 — m)# + Pag. 534. Les deux équations
v(>'+e).y(0'-o) = (ço. W-^-W, /\Q'+ 8) -AO'— 9) = (/* ■/*)• - *•(*•. y*')1
se tirent immédiatement de l'équation
en y faisant A» = yj-. A*' = •
Pag. 337. Ayant va=^(a'— *!)(«"— *î) •••(«*—*?)> on peut faire
Or Ox et y'x étant des fonctions impaires, on a
6(— x) = — fix et y'(— x) = — y'*, donc on aura
On tire de là
aie y * y>
^ i* <«« - XI»'** » * (, ^!i)4»'xt
H I1 /• «xt , |i x«t dxt
donc
^kj~nr~ =vi+Vi+-+ «w = j».
où est le coefficient de ~ dans le développement de la fonction « j //ojt^a^AoX gujvant jes puissances ascendantes de—.
*Aa \/a — ça.Aa/ r a
Substituant ici les valeur de ç>«, /a et A«, et développant suivant les puissances ascendantes de ~t on verra que le coefficient de -~ du développement sera *»->■
Pag. 541. Si fx eRt impair, et yx pair, on aura
(/•ar)«-(^)«(l-*')(l-c«^)=-^(*«-xî)(*«-^) . . . x = 0 donne = c*x\x\ . . . xl^ .y*, d'où l'on tire
cx,xa . . . xi— »
Si l'on substitue dans cette équation la valeur de b0 tirée des équations (13'), on trouvera par exemple pour » = 2:
* « ' (^-*,*W**^» + (*W*,)xlx,Ax, + (x«l-x«)x1x1Ax,
En désignant par y' la valeur de y déterminée par l'équation (14) on trouvera de la même manière pour n = 2:
donc y' = — •
Pay. 347. Les équations (42) et (43) donnent
On voit par la que A#u, est rationnel, lorsque /* est un nombre pair.
y«y. 549. J0 est la valeur de pour x = 0; donc A9 = iî^ii
On trouve de la même manière B0 = 2/t = — ^- pour ar = 0.
Les équations (42) et (43) donnent, comme on le voit aisément, (*w+i + *n»-iXl — ) = &»V -A*)
(xt(l -f x4|l^)(l — c*x* . xJ^J — £*,K, . Ar j
La première équation est la même cbose que
Réduisant les fractions du premier membre au même dénominateur et remarquant qu'après cette réduction les dénominateurs des deux membres doivent être
Soit maintenant
Çaii+i = * "H Apiii+i-*' ~l~ • • •
En substituant ces valeurs dans (b), on en tirera
La seconde des équations (a) donne de la même manière BV.* + *W-« + ^Wi = 0. (d)
L'équation (d) fait voir que si A'^^ = 0 et H',,,^ = 0, B\ii)L sera aussi égal à zéro; et l'équation (c) que si 2f'1(4|1 = 0 et ^',,,^ = 0, ^*,(>|1+1 doit de même être égal à zéro Or les équations (53) montrent que £',,,=0 et A\t = 0. Donc il est clair que B\iiL — 0 et A\^t = 0 pour toute valeur de fi,
(au -}- blvl -f- btv% -}-... -f- b,vH Pag. 351. Soit 0 = j -f + b\t% + . . . -f b'JH
Supposons qu'on demande p. ex. tm exprimé rationnellement en 0, xx, a:„...arH,
y,» y»»-- ^; on fera
en désignant pour abréger, par xp la somme des autres termes dont 0 est composé. Donc
b"jm — o— v = *(*, y, > y«> • • • y^)»
où x est une fonction algébrique des quantités comprises entre les parenthèses parce que tm qui par l'hypothèse est une fonction algébrique de xt, xt,...xm, peut s'exprimer en fonction algébrique de xx , xv . . . x^, y , , y%, . . . y^. On en déduit
AO— V) = fonc. rat. de xlt x„ . . . x^, y, , yt, . . .y» = F. En développant on aura
W-^^P + Q.V, où P et Q sont des fonctions rationnelles de 8, xlt x%,... x^, ylt ya, . . . y^. Donc P 4- Qy = F;
et de là
et par suite
b'Jm=H — = fonc. rat. de 0, , xt> . . . x^, yl , yt, . . . yr
/>«fy. 382. Lo théorème en vertu duquel les équations (68) seront satisfaites en mettant au lieu de 0 une racine quelconque de l'équation V=0, lorsque cette équation est irréductible, est démontré pag. 115, 116.
Pag. 363. Désignons pour abréger le degré d'une fonction par la lettre />, et soit Dfx = m,
D<px = n, on aura
Z)ôx= 2m, si m > » + 2, et Z>e* = 2»+4» si »»<n-f2.
On ne peut pas avoir m = m -j- 2 ea remarquant que des doit être pair et l'autre impair.
m et » l'un
Soit d'abord
donc
c'est-à-dire Soit ensuite
donc
c'est-à-dire
2m>»i-f-n-f-2, 2t» = on > m -\- n -}- S, Dix—on>Dv.
n -}- 2 > m, 2n + 4>m-J-«+2, 2« + 4=ou>>n+n-f-3, DHx=ou> Dv.
Pag. 366. Lorsque m = 2, l'équation (109) devient
(/fc)*-(qF*)«(l— — c\rf) = (*•-««)•.
En faisant /ar = or, q>x — b, on aura
— iV*** + (©'(l + C*) + — b* =x*— 2«'x« + a*;
iV9 = — i, if(t + *') -f- a* = — 2«», 6» = — a«,
et de là
J°<z$r. Jtf7. On a en général (r'— **)(<'— "*) = (rt±*M),—(*'±rM)*- En faisant x = 1 ou x= — dans l'équation (108), la partie logarithmique dis-
parait On voit par là que /î ne peut pas être zéro; car cela donnerait ce qui n'a pas lieu.
En différentiant l'équation (112) on trouve (?=JU étant la partie entière de Or — == + jont ja partje entière est 2Ac*; donc.? = 4A
= bc* = c*aa l«y
Lorsque on a a = ± J-, /7'a,= ox, ^i- = ± *
Col | <X | oc
La seconde des équations (114) donne a sous la forme oo — oo. Or on a et lorsque «, = oo,
Aa,
on tire de là
donc on aura
ca
Cette valeur de a étant substituée dans l'équation
Aa a* » a
a aa,a,
Tait voir que la supposition de infini ne change pas la valeur de
En substituant les valeurs trouvées ci-dessus dans l'équation (112) on en déduira l'équation (US), où il faut observer que le coefficient de vsx deviendra
±c*au «, ± — qui est de la forme ^oof oo. Or en prenant les signes
convenables ce coefficient se réduit à — En effet on a
a = g'Aaa t tt»Atti Aa» Aa,
1— caa*,aa„ r'otja*,, e«aa,a, *
.t Aa, Aa ,
C aa a = i L
et par là
<••««,«, + ÈEk = = .
Pag. 369. Si y et r, avaient un facteur commun, y et r l'auraient de même; mais la valeur de x qui ferait évanouir ce facteur, rendrait (1 — **) (1 — cV) infini, ce qui est impossible, r, et r, ne peuvent s'évanouir en même temps, par ce que 1 —y"1 et 1 — c^y* ne le peuvent pas.
Lorsque « = — » 8oit r— — > ou • et 80nt des fonctions entières de ? î
.r sans diviseur commun, on aura
Or ces deux fractions étant irréductibles, on aura séparément
(?2 -vx*1 - cyi) = - **xi - « v>
et 74 = ?'2,
donc 9' = <i*<*r=y
Le numérateur de la fraction rationnelle ^- étant divisible par r, il est divisible par 0, doue
qdp—pdq
est une fonction entière.
570. Dans le cas de » = m, si Ar = 0, ou aura p = ax- + u^— + + . . ., g = ««a—1 + (m— 1K*— + • • •
d'où l'on voit que le degré de Olî-'Z&L, si *=0, est égal à 2m— 2.
Pag. S7i. Les formules du paragraphe 2 sont les mêmes que les formules (10), (II) et (12) de la page 2Ti8 en y faisant e = ex = l et a = <. La formule (10) donne alors a = ± 1 = /, y = ± x, c, = ± c\ et la formule (H) donne a = ±l = *, y — ^-^, cl = ^zc. Mais il faut remarquer que dans les formules (10) et (11) on peut aussi avoir (voyez les notes pag. 446) c» = et 6* = -^-, ce qui donne, en faisant 0=^=1:
a = ±c = t,cl = ± lc, y = ±cx, y — ±^-
Les quatre dernières formules du paragraphe 2 sont comprises dans la formule (12) pag. 258, où la supposition de e = el = 1 donne
Pag. 382. Les équations qui déterminent les valeurs des quantités tt, b", a, b donnent
a' = b.,F(l) = ^r.v(l), b' = a.(p(l) = ac'.<f (1).
Les deux premières équations donnent =<f (1) = — .tf (~\
et les deux dernières = y(t) = d .y (i-
Donc on «' = 0 et 6 =0, ou ô' = 0 et a = 0.
On a y = donc §L = ?'<*>- . En vertu de (loi) on a ç(l) rfr ç{l)
</(x) = ar.^(x), où t<(x) est une fouction rationuelle de ar*, et V'(0) =
(— 1)* . e% .e\.e\... e\. Donc
l/= W("'v'(x)+v(Jr))'
donc pour ar = 0,
Pag. 384. En éliminant <?* des équations
on obtiendra d'où et de là c'est-à-dire
(1— c*)*(r* + t>* -f 6cc>— 4(1 -fcC)y>r') = 0, c* — ic& + r'* -f 8rC — 4 V ^ — 4rcYcC = 0,
(r- — r)1 — 4\fcC(i — 2|/"rC -f rr') = 0,
{C — cf = 4|/c^.(l — Vcdf.
Pag. 386. Lorsqu'on divise les deux équations
^ = d-^)(i-cvKwr,
GO
membre par membre, on obtient
donc q* — C*p* doit être un carré parfait.
Pag. S88. L'expression de q donne en faisant 2 = 0: 1 = fl(— 1)2^.(U<M'\* . . . fl'^M, q' = b{x — <))(x — 0()) . . . (x — %*r*à) ; donc en divisant membre par membre
'-(«-tX'-bO-O-îtî)
Soit
/» = 4, + Atz H- • • • -f A^
q = B0+Blz + ... + Brfp,
on aura
p — W^At—Bû + iA^-Bjfc+iAt — B*)* + • • • 4- {A^—B^z* = (a — b!/)(z — x)(z-x>) . . . (**<*-»). On voit par la que Av.= a, B^ — b; donc si 6 = 0, q sera du degré /u — 1.
Si = .^Ag + eAx. est une racine de y = quantité TJ^f ,e
sera également, en vertu des équations (142).
Soit l'équation (183): a' — b'y — (fx, on aura a' — b< =y(î)
et C-+6'=V(-1)=— donc a' = 0.
On tire de (142) en y faisant * = 0 et écrivant 2»+l pour n:
donc p = «u(i* — <•*)••• (** —
Pa^. Si a = 0, /> sera du degré /i — 1 et q du degré En
égalant les coefficiens de z*-1 dans l'équation
P—qy = ± by(x—z)(x> — z) . . . (*«■*-« — ;), («)
a'-ty = ^ + + . . . + *<tl"l,)>
où a' et 6» sont des constantes. Ou trouvera sous la même condition que le cas précédent, qu'en faisant t» = 2n + it on aura
*-* = **(* + ï=^ + --- + T^y)' Or * = ±1, ±*- donne y = ±1, ± i, d'où l'on tire 6'=0. y
donc la forme
Cette équation fait voir que ar = 0 rend y infini. Si l'on divise les deux membres de l'équation (a) ci-dessus par y et qu'on fasse ensuite ar = 0 on y infini, on aura
q = ± bz{e\-z*){e\-z*) . . .
De ce qui précède on tire sur-le-champ l'éqnation (188).
Si n est pair = 2«, on trouvera pour y la forme
d'où l'on tire l'équation (189).
Pag. 597. Pour x= % les équations (190) et (191) V+' g — j
Pour 0 les mêmes équations donnent
^± = ae\e\ . . . e\ = J(l + 2Aet + 2A*t + . . . + 2Aft.) L'équaUon différentielle
donne pour ar = 0,
et ^.— JÎ^ii =«.«««»... «\ pour * = 0;
donc a.c'tf* . ..ea,. = 2/i-j-l.
Lorsqu'on suppose x infini, on a *a|i+, = ^ = y, donc
*L = (tu + 1) ✓C-^Xi^gf!) = (iu + 1) =A; * donc J = — î— . On aura donc
a sjrn — '
Le produit de ces deux équations membre par membre donne
«a = c*", donc a = r\
Pay. On a (voyez 135)
8 »* — i cv;*« *'
donc
A*' Ar ^ A.'
400. Les équations (196) et (197) se déduisent respectivement , des équations (190) et (191) en remarquant que a = c^'+^, que ^ = .JL.. et en ayant égard aux équations (145) et (144).
Pag. 401. On a
de de, ,m .
PTe = Te7 (l)
= (2) A«* Ae\ v '
• <fe.> de. . de',
A*-.* ~" Ae. AV." 1 '
Si dans (I) on met e„(l au lieu de e, on aura
de..\ dem • </«'
d«,m | rfe1, «fa»-.» .
Ae„. ' Ae', A»,», '
donc par cette substitution ep se change en «y»^
Pag. 40$. On a
v o = x + ex + O'ar + . . . -f- 0"ar 4- . . . 4- O'^ar », = j: + <50x 4- dV* + . . . 4- -\- . . . + PH%+x
vt = x 4- <)*Qx + <) V* 4- ... 4- àtmlmx+ . . . + dW^r
r,|l=*4-d«f«««4-W*4-...4-d«-n-*4-... + a^Vilar.
En ajoutant et divisant par 2/t + 1 on anra la valeur de x. Eu multipliant la seconde équation par la troisième par à~*m etc. ajoutant ensuite et divisant par 2(i-\- *> 00 aura la v*Ieur de Vx. (Voyez pag. 124).
Pag. 408. M. Crette remarque que c'est jusqu'ici que ce mémoire lui est parvenu, et que l'auteur est mort sans l'avoir Gui.
