tt+iî

^/«tt'"

mais on a

donc pour des valeurs toujours croissantes de /t, d^ s'approchera de la limite

1, et par suite "t^ — de la limite a. Donc en vertu des théorèmes I et

II du paragraphe précédent les séries p et q seront divergentes ou convergentes, suivant que a est supérieur ou inférieur à l'unité. Il en est donc de même de la série proposée (pm.

Le cas oh « = 1 , sera traité plus bas.

Comme la série (pm est convergente pour toute valeur de a inférieure

RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + "* « + ^ -— -^- «^ j 229

à riinité, la somme en sera mie certaine fonction de m et de x. On peut, comme il suit, établir une propriété de cette fonction à Taide de laquelle on peut la trouver: On a

(p m =z m^ -{- m^x -|- //igX^ -|- • • • -|- m^x^' |- . . . , (p7i = /^^J -]- n^x -|- n^x^ ~h " " ' "F ^/«^'' -f- • • • ?

oîi n^ désigne la valeur de m^ pour m = n. On en conclut d'après le théorème VI:

(pm . <pn = i,U' + {Ut,' + ^C) + W + Ut,' + y,') +

+ (^^' + ^<Vi + '^^V-2H h^V) +

oh f^ = 7n^x'^j t^/ = n^x^j en supposant que la série du second membre soît convergente. En substituant les valeurs de t^ et f^\ on aura

Or, d'après» ime propriété connue de la fonction m^, , on a

(ni-\-7i)^^ désignant la valeur de m^, lorsqu'on y substitue m-^-n pour m.. On aura donc par substitution

(pm.(pn=={m--\-7i)Q-^{m-\-n),x-\'{m-\-n)^x^ -^ • • • -j- (//i -|- w)^ x^* -[- • • •

Or d'après ce qui précède, le second membre de cette équation est une série convergente et précisément la même chose que y(w. -j-zi); donc

(3) (pîn .(pn^cpi^in-^- n).

Cette équation exprime une propriété fondamentale de la fonction ipm. De cette propriété nous déduirons une expression de la fonction sous forme finie à l'aide des fonctions exponentielles, logarithmiques et circulaires.

Comme on l'a vu plus haut, la fonction <pm est de la forme J>-f-2^î ^ et g' étant toujours réels et fonctions des quantités fc, fc', a et cp^ et r/i=:fc-|-fc'?', a: = « (cos y -|- ^ sin c/)). Soit

j? -|- g ?'= ?• (cos s-\-i sin 5), on trouvera

(i>' + 3')* = ^ -f = co8 5, 4 = sin 5,

230 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + "* x 4- *" ^^ - »* -4

r étant toujours positif et s une quantité réelle. Soit

r=f{k,k'), s=,r{k,k'), ou aura

(3') 2> + <P = <f {^- + /-'O =/(^-, k') [ces V^Ci-, A^') + 1 sin V'(it, i-')] .

On en. tire, eu mettant successivement /, /' et fc-f-/, /c'-|-/' à la place de

rk/ ei h/ m

=/{k +. /, A;' + /') [ces V'(A'H- /, /c'+ /') + /sin v (A-+ /, fc'+ /')] • Or eu vertu de l'équation <pm.(pii=^(f'{m-\-n), ou a

(f[k-{-i-\-{k'-\-r)i] = <f{k-{-k'i)<p{i-\-ri),

en faisant m :^k-\-k' i, u = l-\-l' i. Donc eu substituant, on obtient f{k -1- /, fc' -1- /') [co.s ifj {k -\- /, fc' -f r) + ^■ sin ip {k + /, k' + /')!,

=f{k, k')f{l, n [cos (v; {k,k') + V'(/, 0) + i «i» ('/'(/-'•, A;') + f{l, /'))].

Cette équation donne, lorsqu'on sépare les tennes réels des tenues imac^inaires,

y(Â; + ^fc' + /')cosV'(/^ + /,A;' + /')=/(/c,^'')/(/,/')cos[V'(fc,/c')4-V'(/,/')], /(A; + Z,fc' + /')sinv(fc + /,fc' + /')=/(^,A:')/(/,r)8in[v/(fc,A:') + V'(/,/')].

En faisant les carrés et ajoutant les équations membre à membre, on aura

[f{k -\-(,k'^ny= [f{k, k')f{i, ny,

d'oh

(4) f(k-\-l,k'~\-l')=f{k,k')f{lJ').

En vertu de cette équation les précédentes se transforment en celles-ci:

cos v {k -\- /, k' -\- /') =r cos [if/{k, k') -\- ip{I, /')] , mitp{k-\-l,k'-\-l')=iim[,lj{k,k')-\-ip{l,l')], d'où l'on tire,

(5) ^{k-{-I,k'-\-n = 2mn-\-yj{k,k')-\-ip{I,n,

m étant un nombre entier positif ou négatif.

Maintenant il s'agit de tirer les fonctions fik^h') et \p(k^k') des

RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -f "* a: + -" '"' - ^ «a 4. . . . 231

é{|uatîoiis (4) et (5). D'abord je dis qu'elles sont des fonctions continues de k et W entre des limites quelconques de ces variables. Va\ effet, d'après le théorème V, p ^t q sont évidemment des lonctions continues. , Or on a

f{k,k') = {p' + q')^\ cosxp{k,k') = ^.^l'^^,y ^mxp{h,k') = y-^3^^^^^

donc y (Aï, /o'), de même que cosi//(A;, fc') et sin i//(7iî, /c'), est une fonction continue. On peut donc supposer que tfj[kjk^) est aussi une fonction continue. Nous allons d'abord examiner l'équation (5). \p{k^k') étant une fonction continue, il faut que m ait la même valeur pour toutes les valeurs de k^ k\ l^r. En faisant donc successivement / = 0, k==:Oj on obtient

ip{k, k' •j-l/) = 2 mn -[- î//(/r, k') -f i//(0, //), i/^(/, k' -)- /') z= 2 mn + ip{0,k') -[- i/;(/, /').

En éliminant entre ces équations et l'équation (5) les deux quantités ip{kjk') et \fj{l^V)^ on trouvera

Boit pour abréger

^' \ 2m:i-\-xfi{0,k')^x^i{0,l')—a,

on aura

(7) ek-{-ei=a-\-e{k^i).

Eu faisant ici successivement l = k.,2k, . . . p/c, on aura

2ek = a-\-e{2k), ek-{-d{2k) = a^d{âk), ek-{-e{Sk) = a-\-d{4k),

ek^e{(} — l)k = a-{-6{(fk).

En ajoutant ces équations, on trouve

(7') (fek=:{<f—l)a-\r^{(ff^)-

On en tire, en faisant ^' = 1 ,

232 becuëkcuës sur la série i + "* « 4- --"'- -^U* h

ou bien en faisant 0(1) — a = c,

(8) 0Q=zc(f'\-a.

Voilà donc la valeur de la fonction 0k, lorsque k est un nombre entier. Mais la fonction 0k aura la même fonne pour toute valeur de fc, ce qu'on peut démontrer aisément comme il suit. Si Ton pose dans l'équation (7')

k=^-j ft étant un nombre entier, on en tire p.# — ==(p — V)a-\-Ou. Or en vertu de l'équation (8)

donc en substituant et divisant par p, on ti'ouve

L'équation (8) a donc lieu pour toute valeur positive et rationnelle de p. Soit / = — k, l'équation (7) deviendra,

ek^0{—k) = a'\-0{Qi).

Il s'ensuit, en posant fc=:0,

d(0) = a, et par conséquent

Or k étant rationnel et positif, on a dk=^ck-\-a, donc

e(^ — k) = — clc-\-a.

L'équation

(9) ek = ck'{-a,

a donc lieu pour toute valeur rationnelle de k et par conséquent, puisque dk est une fonction continue, pour toute valeur réelle de k.

Or dfc = i//(fc, fc'-j-/'), et a = 2w7r-|-i//(0,A;')-f-i//(0,/'); faisant donc c = 0{k\l'), on obtient

(10) t//(fc,fc' + /') = d(fc',r)./c + 2m7r + «//(0,fc')-f»/'(0,/').

On tire de là, en faisant fc = 0,

V/(0,/c' + r ) = 2w7r + ^(;(0,fc') + V/(0, r).

Cette équation étant de la même fomie que l'équation (7), elle donnera de la même manière

RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + *" x + - ^"^ - ^^ x* A 233

1/;(0,fc') = /9'fc' — 2W7T,

ft' étant une quantité indépendante de k\

En mettant /' à la place de k\ on obtient î//(0,/')= — 2wjr-|-/?7'. En substituant ces valeurs de ip\Ojk') et de ip{O^L) dans l'équation (10) on en tirera

xp{k,k'^r) = e{k\J').k-{-(3\k'^r) — 2m7T.

On voit par là que 6[k\r) est une fonction de k'-\-r. En la désignant par jP(fc'-|-/'), on aura

tp{k,k'-\-]') = F{k'-\-'r).k-\-(i\k'-\-r) — 2mn,

et par conséquent, en faisant /' = 0,

il;{k,k') = Fk\k^(3'k' — 27nn.

En remarquant que

i//(fc, k' + /') = 2mn -f ^/(fc, k') + 1//(0, /'),

i/;(0,/') = /97' — 2m;T, l'équation précédente donne

F[k'^r).k^-l3\k'-^r) — 2m.i = 2mn'\-Fk\k-\-ftlc' — 2inn^l3'r — 2mn

c'est-à-dire :

F{k'-\-r)=Fk\

Donc faisant /?' = 0, on obtient FI' = F{p) = i3= Fk\ Par suite la valeur de ifj{k^k') prend la foniie,

(11) ^ ^p{k,k') = (ik-\- (i'k' — 2mn,

/3 et /?' étant deux constantes. Cette valeur de ip{kjk') satisfera à l'équation (5) dans toute sa généralité comme il est aisé de le voir.

Maintenant, examinons l'équation,

/(fc + /,fc' + Z')=/(fc,fc')/(/,/').

Puisque f{k^k') est toujours une quantité positive, on peut poser

F{k^k') désignant une fonction réelle continue de k et k\ En substituant et en prenant les logarithmes des deux membres, on trouvera

234 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + "* x + -— x^ A

Comme cette équation coïncide avec Téquation (5), en mettant i^ à la place de 1//, et 0 à la place de 7^^, elle donnera en vertu de Téquation (11)

(12) F(k,k') = dk^d'k\

(J et (?', de même que /? et /?', étant deux quantités indépendantes de k et de k\ La fonction f(k^k') prendra donc la forme,

Les fonctions ip[kjk') et f{k^k') étant trouvées de cette manière, on aura, d'après Téquation (3'),

(13) <^(A:. + ^'0 = e^*^'^'*'[co8(/^fc + /rfc') + ^^sin(/?fc + /rfc'^

où il reste encore à trouver les quantités (î, J', /?, /?', qui ne peuvent être que des fonctions de a et de ^. On a

p et q étant donnés par les équations (2). En séparant les quantités réelles des imaginaires, on aura

e'^*+'^'*'cos(/?ifc + /rfc') = l-[-Âiacosdi+A,a'cosd,-^

-f-^^«'"sind^-|- • • •

Nous allons d'abord considérer le cas oh m est réel, c'est-à-dire où fc' = 0. Alors les expressions (14) prennent la forme,

e'^* cos /?fc = 1 -[- i" « ^^^ y^ ~h 19^* cos 2^

+ '('-W'-^>«'dn8^ +

= ^Cf.

Pour trouver J et /?, posons fc = 1 , on aura

e^'cos/î^ l-[-«cos^; <^''sin/? = «siny.

On en tire

e ^ = ( 1 -|- 2 a cos y -|- a * ) * ,

RECHERCHES SUR LA SERIE 1 4- - a 4- '^^ x^ 4 235

/v 1 + a C08 cr . ^ a sin w

' (1 + 2acoBg) + a*)4 ' (1 + 2a cos y + a-)i

Cette dernière équation donne, en désignant par s la plus petite de toutes les valeurs de /î qui y satisfasse, et qui est toujours renfennée entre les

limites — ^ et -^ ?

// étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les équations (15) se changent en celles-ci:

fa = e^^ cos k{s -|- </ tt) = e^^ cos Tes cos kfA tx — e*^* sin les . sin hu /r, 0a = e^^ sin k{s -\- un) = e^'' sin ks cos fc//7r -|- e''* cos ks . sin A*// ^t.

De ces équations on tire

cos kfin = e""*'* [fa . cos ks -(- da . sin ks)^ sin fc// TT = e~^* (# a . cos ks — fa . sin ks) .

Or, d'après le théorème IV, Oa et fa sont des fonctions continues de a; par conséquent il faut que cos k/mr et sin knjr conservent les mêmes valeurs pour toute valeur de a. Il suftit donc pour les trouver, d'attribuer à a une valeur quelconque. Soit a = 0, on aura, en remarquant qu'alors e^=l^ /«=!, ea = Oj 5 = 0,

cos kfi TT = 1 , sin ku rr = 0.

En substituant ces valeurs dans les expressions de fa et da, et en se rappelant que e^ = (l-|-2a cos y -|- a*)*, on obtiendra

fa = il -|-2acosç)-}-a')^ cosfc^, da = (l -|-2acosy-j-a*)^ sinfcs. Donc enfin les expressions (15) deviendront:

1 -{- - a cosy-|- Aj~s-^«*cos2y-|- - :j— ^-^ - -- a* cos 3 y -[~ * * •

= (1 -|- 2 a cos ç) -j~ a*) ^ cos ks^ Y OL smy -j — lô « sni2y-|--- — j— é~ a — « smSç) -|-

= (1 -[-2a cosy-[-a^)* sinfc^,

236 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + "^~x+--^ — x* + • • ■

S étant renfeniié entre les limites — ^ et -|- ' et satisfaisant à Téquation

asin(r>

tanff s =.'^ - '

° 1 -|- a cos f/)

Les expressions (16) ont été établies pour la première fois par M. Cauchy dans l'ouvrage cité plus haut.

On a supposé ici la quantité a moindre que l'unité. On ven-a plus bas que a peut aussi être égal à l'unité, lorsqu'on donne à la quantité k une valeur convenable.

Dans ce qui précède nous avons trouvé les quantités â et (S. Maintenant nous allons montrer connnent on peut trouver les deux autres quantités inconnues J' et /?'. Faisant à cet eflfet dans les équations (14) k = 0 et k' = nj on obtiendra

e'^'" cos (S'n = 1 -j- A^a cos 6^'~\-k^a^ cos ê^ -[" e'^'" sin i3'n = k^a sin 0^ -f- K «* ^^^^ ^t 4"-

où X^ = d^d^ô^ . . . (^^, ^A* = /^^+/i+/8+ ' • • +//*? ^^« ^^ 7/' ^*^^^* déterminés par les équations

De ces équations on déduit les suivantes:

«'^'«cos/J'n— 1 l n \ ^2 2 n \

=1 ^ a cos 0^-\ -a cos ©g T" ' ' ' '

" ^ ^ = -i^ a sin #1 4- - * «* sin d» + • • • •

Or en supposant n positif on a Aj = J^i^:/?, donc ^ =(^2^3 ... J^, et par

= a cos ô, -|- (Tj «* cos ^2 -f- <^2 ^^3 «^ cos #3 -[-

suite

.:. ( ^==, a sin ôj -[- d^ a* sin ôj -f- d^ (\ a^ sin ^3 -|-

Ces séries sont convergentes pour toute valeur de n^ zéro y compris, ce qu'on vpit aisément par le théorème II. En faisant donc converger n vers la limite zéro, et remarquant que, d'après le théorème V, les séries sont des fonctions continues, on obtient

KECHEKCHES SUR LA SÉRIE 1 + ™ as 4- - - — - as» H • 237

,r = « COS di' + (?/«* COS e^ + (^/<^,'«* COS tf,' -| ,

/r = a sin d/ + <y/a* sin ô»' + 8^8^a^ sin dj' -1 ,

^'Vn(»os/î^'w 1 ^'^'" sin i^'?*

puisque S' et /?' sont les limites des quantités - et — - — ;

0^ est la limite de 6^ et cJ^' celle de rT^, Or, d'après l'expression de (?„,

on a ry^' = ' ; donc cos;/^= — 1; sin/^ = 0 (lorsque // > 1), donc

cosô/ = cos(/t9)-f-/,-|-/,-| |-/^J = -f-sinay.(— 1)^',

sin«,/ = sin(//^-f /i-l-^sH [~/^)=: - cos ay .(— 1)«,

oîi il faut se rappeler qu'en vertu de l'équation

1} i = (f^ (cos Vj -f- ^ sin ;^i ) ,

on a cos;'i = 0, sin^i=l. Donc les valeurs de /?' et J' seront celles-ci:

l'i' = a COS (p — ^ a* cos 2(p -\- ^a^ cos 3y — (V =z — a sin (p — ^a* sin 2^) -f~ i^* sin 3y —

De cette manière on a trouvé les quantités /?' et (^ par des séries infinies. On peut aussi les exprimer sous forme finie. Car on tire de l'équation (15):

e/^^COB[ik—l . k — l 2 ^ , (k—l)(k—2) 3 „ ,

, =:a COS y -f- . o « COS 2^ -j- ^^ — Y ^o — « COS 3^' -f" • * • '

^'^*8În/!?)fc . I ^ — 1 2 • o I (A:— 1)(A:— 2) , . ^ i

' =a sm y -r i 2 « sm 2 y -]- ^ " i o h "^^^^ ^ ^ r

On en déduit, en faisant converger k vers zéro,

I()z=:acoH(f — ^a^coH2(p -|-^«*cos3y — ft = a ûn(f — -J-«^ sin2y-|-^a* sinSç) — • • • >

donc /î'iz^cJ, (T' = — /?. Donc les expressions (14) prennent la forme

1 -j- 'l'i" COS dj -|- ^2 a* COS ^2 -f" • • • -f- >^/4 «^ COS #^ -|-

oà

i X -p Ajt^ ^»JJ5 l/j -p A2l^ i^IJOVg-j- • • • -j-A^W \^WrJ V^ -p • • •

j >lj« sin d, -|- A, «* sin d^ -|- • • • -|- A^ «'' sin d^, -(- • • •

<^ = ilog(l+2«cos(;f-fa''), /? = arc. tang ^ ^ "j° ^^ ;

238 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 -}- "" x + — - -^U* -j

or la somme de la série proposée étant égale à J^-\-qi^ ou aura

= e^'-^'' [cos (/?fc + (^fc') + / siu {(ik + âk')]. Maiuteuaut ou a

doue

(y = .|log(l4-2a + «* + i*)=:ilog[(l +«)* + *''], /?=HretaugjA^^.

Eu substituant et eu écrivant m pour /c et n pour fc', l'expression ci-dessus prend la foi'me:

, (7^ 4- 71 i) (ni — l4-ni) (m — 2 -4-7ii) / , y .\ , 1

, (m -\-ni)(ni—l+ni)(m—2+n i) ^ . (m— ju+l+wt) /^ t ^ ^-y. i

= cosf^riarctang — -f irtlog[(l-fa)^-f^*])+^sin Uwarctaiig - -fiwlog[(l4-a)*+/>*]

r/^ \o foTô — n arc tang --.

Cette expression a lieu comme nous l'avons vu, de même que l'expression

(18), pour toute valeur de a= ^a*-|-è* inférieure à l'unité. En faisant p. ex. 5 = 0, n = 0^ on a l'expression

de laquelle nous tirerons parti ci-après.

RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + ' - a: + ^-~ ^ ar» +

Dans ce qui précède ou a trouvé la somme de la série proposée toutes

les fois que a = ^a'^-\-b^ est inférieur à l'unité. Il reste encore à examiner le cas où cette quantité est égale à 1.

Nous avons vu par le théorème IV que lorscjue a s'approche indéfiniment de l'unité, la série

s'approchera en même temps de la limite ?^o ~f" ^i ~|~ ^î ~f" • • • ' ^^^ supposant que cette dernière série soit convergente. En faisant donc converger a vers l'unité dans les équations (18), on aura

i 1 -f- Al cos^i -|- ^2 cosdg H h ^/* cosd^, -| =e

cos(/3ifc+J,fc'),

\ l,sm0,^X,sme,^ \-)i^Hme^,-{ =e'^^'-^^'' Hm{/3Jc-{-â,k'\

oîi â^ et /?i sont les limites des quantités â et /?, en supposant que les séries, contenues dans ces équations, soient convergentes. Or il est clair que ^ log (2 -[- 2 cos (f) est la limite de fT, et que

sni (p

^ 2cos^y8in Jy)

arc tano- — - — ^ — = arc tang; t^ . ---^,~A - == arc tanff (tane* A w)

^ 1 + cos r/) ^2 (cos^ipy ^ ^ to 2 Y-/

est celle de /?; on a donc

âi=^ log (2 -[- 2 cos (p) , /?i = arc tang (tang ^ ç)).

Nous n'avons donc qu'à examiner dans quels cas les séries sont convergentes. A cet effet il faut distinguer trois cas : lorsque k est égal à — 1 , ou compris entre — 1 et — oo ; lorsque k est égal à zéro ou compris entre 0 et -{-ooj et lorsque k est compris entre 0 et — 1.

Premier cas^ lorsque k est égal à — 1 ou compris entre

1 et — oc ,

On a

En faisant donc i: = — 1

7ij on a

240 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 4- "* x 4- "* - ' ^\* J . . .

d'oîi roii voit que J^ est toujours égal ou supérieur à Tunité. Or on a

Â^^ = (î, (^2 Js . . . (T„ , donc pour des valeurs toujours croissantes de // , Â^ ne

convergera pas vers zéro, donc en vertu du théorème I les séries (21) sont divergentes.

Deuxihne ca.s^ lorsque k est positif. Supposons que c soit une quantité positive inférieure à fc, on aura

donc

Si l'on fait

il s'ensuit que fc'* — c* — 2c(// — k — 1) est négatif; par conséquent

c'est-à-dire :

Si dans l'équation (20) on fait a= - ? 7/i = — ??, on aura

Donc en faisant 7^=l-|-/c — c, on voit aisément que

par conséquent

donc

En posant successivement //= 1, 2, 3 ... ^u, et en faisant le produit des résultats, on obtiendra

KECHEUCIIES SUR

LA SÉRIE 1 +-"*-» + !"i!lL-i) «.+ ... ^1 ^ 1.2 ^

par conséquent loi*squ'on fait ,«= 0, 1, 2 . . . /i,

Si maintenant dans l'expression (20) on fait a= — ~^jm. = — kA-c-,

on aura

Q + fi + lj — ■'"^■ç + /i + l"^"l.2(ç + ;« + l)*"t■ donc en se rappelant que k> e:

Il s'ensuit, en divisant par (k — o) (p-[-/i-|- !)*"',

Gela donne, en faisant // = 0, 1, 2 . . . /* et ajoutant,

Il s'ensuit que

pour toute valeur de ^ . Donc la série 1 -[~ ^o ~h ^l»! ~h ^2 "f" • * • ' dont tous les termes sont positifs, est convergente, et par conséquent, d'après le théorème II, les séries

1 ~h ^1 cos $1 "4- Àg cos ^2 -|- • • • -f- >t^ cos 0^ -[- Al sin 0^ -|- Ag sîn d^ -|- ' * * ~f- ^/« ^îi^ ^/i "fseront de même convergentes.

242 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 + x 4- --««+••

Troisième cas^ lorsque Te est égal à zéro ou compris entre zéro et — 1. Dans ce cas les séries ci-dessus seront convero-entes pour toute valeur de h^ pounMi que (p ne soit pas égal à (2n-^l)jj. Cîela peut se démontrer connue il suit: Soit

7n=-h-^k' i^ ic = cosy -|-z siny,

En multipliant par l-j-a:, on obtient

Or on sait que

Wi -f 1 — (m -f- l\ , w, -|- m, = {ffi -f- 1), . . . , 7w, -f- m„i = {m + 1)„ ,

/loue en substituant:

l + (7/i+lX:r + (m+l),x*-| ^(^m-\- ll^x^^= -vi^x"^^' -{^ 2^n{i +^y

Maintenant, si Ton fait w=: o^ le premier membre de cette équatîcm sera,

d'après le cas précédent, une série convergente. En la désignant par ,s, on

aura

,s = j[;„ (1 -j- x) — m„ [cos (/z -|- 1) ç) -|- ^ sin (ji -|- 1) y ] ,

où n est infini. Or on peut démontrer comme dans le deuxième cas que m^^:=0 pour w=.oo. On a donc

s =j; (1 -}- a:), oii p = 1 -[- Wj a* -|- mg a*^ -|- • • • (Jette écpiation donne, si a:-|-l n'est pas égal à zéro,

La série p est donc alors convergente, et par conséquent les séries ci-dessus le sont également.

Si ic-[-l=0, on a 1 -j- cos (/)-[-- 2 sin y =:0, donc sin9) = 0, l-[-co8y=:0, d'où (p=i(2n-\- i)7ry n étant un nombre entier positif ou négatif. Donc les séries en question sont convergentes pour toute valeur de k égale à zéro ou comprise entre 0 et — 1, si ç) n'est pas égal k {2n-\-l)7T.

Loi'sque (p=:(2n-\-ï)7Tj les séries sont nécessairement divergentes, car S) elles étaient convergentes, elles auraient pour sonnne les limites des fonctions

e''^-''^ [cos (fc/î + k'â) + i sin {kft + k'â) ] ,

i^^ull^^A..., 243

RECHERCHES SUR LA SERIE 1 -f ■ x -\ ^ «« +

en y faisant converger a vers Tunité, et faisant (p = {2n-\-l)7i\ Or

^ = 2 l^g (1 + 2a cos ç) + a'), (3 = arc. tang --^'^"^ ,

donc pour (p = (2n -[- 1) ti on a

â = log{l — a), (3 = 0.

La fonction en question prendra donc la forme

(l — aY [cos (fc' log (1 — a)) + i sin (fc' log (1 - a)y] .

Or, k étant égal à zéro ou négatif, il est clair qu'en faisant converger a vers l'unité, on n'obtiendra pas pour cette fonction une limite finie et déterminée. Donc les séries sont divergentes.

De ce qui précède il s'ensuit, que les séries (21) ont lieu pour toute valeur de cpj lorsque k est positif, et pour toute valeur de (p pour laquelle

cos -~ n'est pas zéro, lorsque k est égal à zéro ou compris entre — 1 et 0,

quelle que soit d'ailleurs la valeur de k\ Dans tout autre cas les séries sont divergentes. Dans le cas que nous examinons, la série générale (19),

lorsqu'on y fait è*-[-a*=l, ou b = Yl — ^^7 prend la forme:

^ (vi+ni)(m-l+ni)(m-2 + »i) ,^ ■ y^, jy ■

z=(2+2ay""e~""°'*'"'^^^"^[co8[wai-c.tangj/^ + |«log(2 + 2a)

-\- i sin VI ai'c. tang y . j- - -|- ^ n log(2 -|- 2a)

Voici un résumé des résultats précédents: 1. Lorsque la série.

est convergente, elle a pour somme

[(l + a)* + i«pe~"""*""'^+"[cos(marc.tàngj^- + -^log[(l + a)»-|-è*]

+ 1 sin ( m arc. tang j-j-^ -f y log [( 1 -|- a) * -|- 6 * ] j

m . m (iM— 1 )

Ch 4 Â ' . w m (iM — 1 . ^44 RECHERCHES SUR LA SERIE 1 A x + - x* +

IL Jjh série est convergente pour toute valeur de ?/i et //., lorsque la

quantité Y^a^-\-b^ est inférieure à l'unité. Si ^a^-\-b^ est égal à Tunité, la série est convergente pour toute valeur de 7n comprise entre — 1 et -[-oo, si Ton n'a pas en même temps a = --l. Si a = — 1, m doit être positif. Dans tout autre cas la série proposée est divergente. Connue cas particuliers on doit considérer les suivants:

A. Lorsque n = 0. On a alors 1 !.'« (« + 6,-) + -(--l)(„ + t,y+ . . .

I = [(1 4" ^•) * "4^ ^^] * ^^^ ^'^ '^^'^' tang YIT' 4" ^ ^^^^ ^'^ ^^*^' ^'^^^S TZl.

Cette expression donne, en faisant a = acos(p^ Z>z=:asiny et en séparant les termes réels des imaginaires: