C. Lorsque 7^ = 0, b

Alors on a

Cette expression a lieu pour toute valeur de vi lorsque la» valeur numérique de a est inférieure à l'unité, de plus pour toute valeur de 7n comprise entre

UECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 4- - a? 4- - -" '^* ^ x* +

— 1 et -|-oo, lorsque a=l, et pour toute valeur positive de m^ lorsque a= — 1. Pour toute autre valeur de a et de 7n le premier membre est une série divergente.

Faisant p. ex. a = 1 , a= — 1 , on a

La première équation a lieu pour toute valeur de vi comprise entre — 1 et -j-oD, et la seconde pour toute valeur positive de m.

D. Lorsque }/ a* -|- è* = 1.

Alors on a

Jl J. • ^

Vî-a r l4-a

cos 7/1 arc

-|- 1 sin m arc. tang y ^r — h "o" ^^S (^ 4" ^^)

Si Ton fait ici a = cosç), on obtient

1 -| z — (cos q)-\-i sm cp) -j- ^^ — ■ y — ^ — ' (cos 2y-[-i sm 2y)-|-

(29) / =(2 + 2cos9))*6

7/1 (^y — Ç^) "I" "9- l^g (2 -]-2 cos ç))

ï« (-J^ y — ^^)-T -9- log (2 -|- 2 cos <p)

eu l'emarquant qu'on a

arc. tang 1/ -^-^^ = arc. tang y -^ ^-^^| = arc. tang (tang \ip) = \(p

(fn,

si Ton suppose \(p compris entre p/r — 7-- et {fn-\-

246 UECHERCHES SUR LA SERIE 1 + x A — x* -{

E. Lorsque |/a^-|-ï*=l, rt = cosy>, b = mi(py 7i = (). Uaiis ce cas rexpression précédente donne

(30) ^ = (2 "j- 2 cos y) ^ [cos m {^(p — çti) -\- i sin m{\(p — (>7i)]

depuis i9? = (>7r— ' jusqu'il 4ç) = ^ti-j- .- ,

ou, en séparant la partie réelle de l'imaginaire,

l-[- ^!^^- cos y -}- ^ ^^ ,^ ^ cos 2 y -[- • • • =(2-|-2 cos y)* cosm(|y — p/r) (31) / ^'^ sin y -[•" ~ i T '^^^^ 2 y -f- • * • =(2 -[-2 cosy)^ sin7M(^y — (iti)

depuis lyzzzpTi— 2 jusqu'à Jy = p7i-|- ^ . F. Lorsque a = 0, i = tangy.

Dans ce cas on obtient, lorsque y est compris entre -f- ^^ et — -.- ?

^ , m-\-ni . , (w + n/)(77i — l + ^O/'x \2 i

1 H y— ^ tang y + ^- -^— -\\ g ^^ *^"8' V) H

= (cos y)"""* e~^^ [cos (iJiif — n log cos y) -|- z sin (//ly — n log cos y)] .

Des expressions précédentes on peut, par des transformations convenables, en déduire plusieurs autres, parmi lesquelles il s'en trouve de très remarquables. Nous allons en développer quelques unes. Pour plus de détail on peut consulter l'ouvrage cité de M. Gauchy.

SommcUion des séries a cos y — ^ a * cos 2 y + -J a ' cos 3 y — a sîny — |a* sin 2y 4-i«' sin3y — • • ••

Lorsque a est supérieur à l'unité, on voit aisément que ces séries sont divergentes. Si a est inférieur à l'unité, nous avons vu plus haut qu'elles