RECHERCHES SUR LA SERIE
sont convergentes; leurs sommes sont les quantités ft et â du § 3, c'est-àdire, en mettant pour (i et â leurs valeurs données par les é([uations (18),
l log (1 -|- 2a cos (f -|- a*) = a cos (p — ^ «^ cos 2</) -[- ^ a^ cos 3y — • • • >
v / I ce sin cp
arc. tang .--r- — - — = a sin ç) — -J^ a* sin 2 y -[- ^ a' sin 3 y — • • •
Pour avoir les sommes de ces séries lorsque a=r-|-l ou — 1, il faut seulement faire converger « vers cette limite. La première expression donne de cette manière
-J- log (2 -[- 2 cos (p) = cos (p — ^ cos 2 y> -[" i ^^^ ^^ — (34) {
^log(2 — 2 coH(p)=: — eoHcp — ^ cos 2 y — ^ cos S(p —
en supposant que les seconds membres de ces équations soient des séries convergentes, ce qui aJieu, d'après le théorème II, poin* toute valeur de y, excepté pour y> = (2//-|- l)rr dans la première expression, et pour (p=i2fi7r dans la seconde, fi étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.
La seconde fonnule donne, en supposant (p compris entre tt et — tt, et en se rappelant qu'on a alors
arc. tang yzç^J-- = arc. tang (tang | (jp) = ^ y :
(35) ^ y = sin (p — ^ sin 2(p-^^^mS(p — • • (depuis y> = -|- tt jusqu^\ q) = — tt).
Lorsque (pzi=7î ou = — :nr, la série se réduit à zéro, comme on le voit aisément. Il s'ensuit que la fonction:
sin (p — ^ sin 2^ -|- ^ sin S(p — • • •
a la propriété remarquable d'être discontinue pour les valeurs (p = 7r et ç) = — n. En effet, lorsque r/) = + ^? ^^ fonction se réduit à zéro; si au contraire y> = + f7r — «), a étant positif et moindre que tt, la valeur de la fonction est
La fonnule (33) contient connue cas particulier la suivante: (3C) arc. tang a = a — ^cc'-\-^(i^ — •••
ce qu'on trouve en faisant (p= ,y Cette formule sera applicable pour toute valeur de a, depuis — 1 jusqu'à -f-l? I^s limites y comprises.
248 RECHERCHES SUR LA SÉRIE 1 + — « + ^^ x* 4- ■ • -
jnévelopjyemeiii (le cas in (p et de sintuff mdvant les jmûtsanefs (le tnng (f.
On peut déduire ces développemeus de l'expression (32). Yàix effet, en faisant 71 = 0, et séparant les parties réelles des parties imaginaires, on obtient, après avoir multiplié par (cos y)*",
cos m(p = (cos y)" 1 -T- A- -^ (tang y)*
(87) < +^7't.^"î"-^(""g^)'--f sin m(p = (cos y)" m (tang (p) '^^j — ^^^ i^^^^S VY "l~ * ' * '
depuis (p=.-r jusqu'à ip=. — -j- ? et ces équations ont lieu pour toute valeur de m lorsque tang y est moindre que 1. Si tang9D = +l, elles ont lieu pour tout m compris entre — 1 et -|-oo. Elles sont alors:
Développement de (eosœ)^ et (sina)^ en séries ordonnées suivant les cosinus et les simis
(Us arcs nndtiples.
Depuis quelque temps plusieurs analystes se sont occupés du développement de (cos xY et (sin x)". Mais jusqu'à présent, si je ne me trompe, ces efforts n'ont pas entièrement réussi. On est bien parvenu à des expressions justes sous certaines restrictions, mais ces expressions n'ont pas été rigoureusement fondées. On peut les déduire assez simplement des expressions démontrées ci-dessus. En effet, si l'on ajoute les deux équations (31), après avoir multiplié la première par cos a et la seconde par sin«, on obtient
