CHAPITRE V
ThAorie générale de la transformation des fonctions elliptiques par rapport
au module.
A l'aide des théorèmes que nous avons établis dans les chapitres précédens, nous pouiTons maintenant donner la solution de ce problème:
^jfJtanf proposée une fonction elliptique dCun module quelconquej expn'tner cette Jonction, de la manière la plus générale en d autres fonctions}''
PKÉCIS D'UNK THÉOIUE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 607
CmulUlon générale pour la traiisfannution»
Soit proposée une intégrale de la forme
rdx
on demande s'il est possible d'exprimer cette intégrale par des fonctions algébriques, logarithmiques et des fonctions elliptiques, dont les modules sont Cj, Cj,, . . . c„, en sorte qu'on ait:
r cImB
oh Al y A^^ ... A^ sont des constantes, x^, Xg, . . . a:„ des fonctions algébriques de ce, et F une fonction algébrique et logarithmique; tpi^ xp^^ . . . yj„ désignent des fonctions elliptiques ayant respectivement c^, c^, . . . c^ pour modules.
Cela posé, cette équation donnera en vertu de la formule (86):
-=h'y^iyi-\'h'%y2-] h^m-v^m^m+ï^S
les quantités
yii Vt^ y^j • • * ym
de même que
Ja: dx Jx Jx
étant des fonctions rationnelles de x.
Si l'on suppose, ce qui est permis, qu'il soit impossible d'exprimer
rdx Jx
par un nombre moindre des fonctions i/Zj, t/z^, . . . xp^^ il est clair qu'aucune des quantités yi^ y%^ * > > y^ ^^ pourra être constante.
On doit donc avoir séparément, en vertu du théorème démontré dans le premier paragraphe du chapitre précédent,
dy. (Ix dy^ dx dy^ dx
J^y^ "^ Jx J^y^t Jx J^y^ "^ Jx
où «1, «,,... «„ sont des constantes. Cela donne en intégrant,
(»()8 PldiClS DUNK THÉOUIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
sauf une constante qu'il faut ajouter à chacune de ces équations. On pourra donc énoncer ce théorème:
Théorhne XllI. Une relation quelconque entre des fonctions elliptiques, ayant c^ c^^ c^^ . . . c^ pour modules, ne pourra subsister à moins qu'on n'ait entre les fonctions correspondantes de la première espèce, cette relation
(206) G){x,c) = — (D{y,,c,) = — (B{7/^,c^)= • • • = — fij(y«,cj,
OÙ fj, fj, . . . f„ sont des constantes et ?/i, y^, . . . y„ des fonctions rationnelles de la variable x.
On pourra donc encore satisfaire aux équations suivantes:
cD(xi, c) = e'€D(x,Ci),
(D(x,,c) = É^"^aï(a:,c.),
Xj, :C2, . . • x„ étant des fonctions ratioimelles de a:; ou bien, si Ton désigne par c et c' les modules de deux quelconques des fonctions entre lesquelles on a une relation, on poun'a toujours satisfaire à l'équation
en supposant x' fonction rationnelle de ce, ou x fonction rationnelle de x\ Cette équation donne
Soit maintenant x' fonction rationnelle de x\ si / désigne une fonction rationnelle quelconque de x\ on pourra transformer r' en une fonction pareille de x. En la désignant par r, on aura donc r' = r. Donc en multipliant l'équation différentielle ci-dessus par r\ on aura, en intégrant
Quelle que soit la fonction rationnelle r, on pourra toujours, comme on sait, exprimer
rdx
par des fonctions elliptiques des trois espèces avec le module c. On aura donc ce théorème:
PHËCI8 D'UNE THÉORIK DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 609
Théorème XIV. Si une fonction elliptique quelconque ipx^ ayant c' pour module, peut être exprimée par d'autres fonctions dont les modules sont 6*1, Cj, ... 6*„, on pouiTa toujours exprimer la même fonction (px par des fonctions elliptiques d'un même module c, c étant l'un quelconque des modules Cj, Ca, . . . c„, et cela de la manière suivante:
OÙ y et /• sont des fonctions rationnelles de x.
La continuation d'après un manuscrit inédit.
En vertu de ce théorème tout ce qui concerne la transfonnation des fonctions elliptiques par rapport au module se réduit à exprimer l'intégrale
/v cLûs -//-;-< par des fonctions elliptiques.
Transfonnation des fonctions de la première et de la seconde espèce.
Supposons d'abord que (px soit une fonction de la première espèce, de
sorte qu'on ait
r dx
Dans ce cas la fonction r se réduit à une constante, et on aura par suite
où y est rationnel en x. Cette équation est la même que celle-ci:
di/ dx
Nous en avons donné la solution dans le chapitre précédent. Passons aux fonctions de la seconde espèce:
610 PRÉCIS D'UNK TUÉOHIE DKià B'ONCTIONS ELLIPTIQUES.
Oïl aura alors
(213) ^oil/,c') = .f^-
Comme y est une fonction rationnelle de x, Tintégrale du second membre paraît contenir des fonctions* de la troisième espèce, mais nous verrons qu'on peut toujours la réduire à une expression de la fonue:
où V est une fonction algébrique de x. Il y a un moyen bien simple de prouver c«la, savoir en différentiant Téquation
par rapport au module c. Cette équation revient à celle-ci:
fdy{l — f/)'' (1 — c/'y')" ' = efdx{l — x')' '{1 — c'x')"\
En la différentiant par rapport à c et remarquant que les trois quantité^s y^ c\ ê contiennent cette quantité, on aura
mais on a
f s*dx 1 *(l-lf*) I 1 f(l—a;*)dx
J (1 — c» X») J(jr, c) — c« 1 ■ I/(x;^" "■ Y— c*] ."" J(.r, c) ' '
j (1 -c' V)-:/(^,«') — c'* - 1 ". "^0/70 + 1 - c"} J(y, c') " * Eli substituant on aura
et de là en mettant pour â)(?/, c') sa valeur fa)(j^-, c),
(214) (DoO/, ^'0 = Aa}{x^ c) 4- /?t5o(x-, c) +^>, où Ton a fait pour abréger
c'(lc''(i — e'')\ ~"c'dc' ~'
(J1&) { ^^— c'(l-C^")rf7'
(l-^»)rfc % 1 . „.<l-.r«) y(l-y»)
Or on pourra parvenir plus directement à l'expression de û>o(y,c'), savoir en décomposant la fonction rationnelle y* en fractions partielles. Soit X — a «11 facteur du dénominateur de y, on aum
oh A et B sont des constantes. En faisant y = — ? on trouve d'après les règles connues
Or si Ton met dans l'équation
dij dx
- au lieu de ?/, il viendra
(218) (1 — x*){l — c*a-«) (</)'a:)» = f * [(yx)» — 1] [{(fx)' — c'*]
= f »(<px)* — «*(1 + «'*) (ytc)* 4- e'c'*. En y faisant x = a on a' ya; = 0, donc
De ineine si l'on différentie l'équation (218) par rapport à a; et qu'on fasse ensuite x = a, on aura
2{l—a*){l — c*a*)<p'a.(p''a—[2{l-\-c*)a — 4c'a*]((p'ay = 0', on a donc
En vertu de ces valeurs de .4 et de i? il est facile d'avoir l'expression de
fy' -. ^ ,-, • En effet, en multipliant l'expression de y* par , . ,. = e -^ — r i
il viendra
^99m T-y'^^-^ n(l-«»)(l-c»«?),2c«a» -(!+«*)«( <Lr K^^^n j j(j,^c')~'e?*J \ ~ (x — ay "T" x — a \ J(x,
Or si l'on différentie la fonction
on trouvera
donc la première des intégi'ales du second membre de l'équation (220) est la même chose que
f{c*x* — c*a*) --^. — •^-(•'■' ') = -'(•'■' "^ — r*a*ûJ(j-, r) 4- c'fiJoCa-, c).
J ^ ^ J(XyC) œ — a a — .r \ 7 / i «v /
Donc l'expression de / J!: >v deviendra
j-^)-é'\ "^ - «*«•»(-. «) + '■»•(-. ') ! + 'ÏZ
En désignant donc par a,, a,, . . . a^ toutes les racines de l'équation — = 0, on aura
où h est une quantité constante, savoir la valeur de y pour .r = J^.
Cette fonnule répond à une fonction rationnelle y du degré //, savoir
y jj. (^ — «1) (^ —3) 0^ — «3) . ■(■^ — «^) .
*^ (x — a^){x — ^{^ — 03)... (.t: — rt^) '
mais il y a deux cas qu'il faut considérer séparément: il pourra arriver que Tune des quantités a^ et «^ sera infinie. Soit d'abord a^=zl^. Alors on aura fc = 0. Dans ce cas la fonction y sera une fonction impaire de Xy dont le numérateur sera d'un degré moindre que celui du dénominateur. Si fi est pair, on aura en mettant 2/i pour /i,
, :<1 - /îî^«) (1 -lt-^^^(l-lij.-,.r') ^~ (1 — Six') (1 — <)|.r«) . . (1 - ()t»,r«) '
PRÉCIS D'If ME THÉORUfi DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 613
et la formule (221) deviendra
(222) ,cf*m,{y, cf) = 2^c^iD,(x,c) 2.» M, + j, + • • • -f- ^^ j a)(;r, e)
Si ju est un nombre impair, on anra en mettant 2^/ -{- 1 pour /i,
/QOQX {l—c^a^x^){l — c^a|a;*) . . . (1 — c^alx^) a^-a^ . . . a^
et la formule (221) deviendra
(224) ec''G>,(j,,c') = {2fL + iym,{x,c)--2c\a\ + al^ H«^)Sï(x,r)
Supposons maintenant a^ = 0. On aura alors A; = ^. La fonction y sera impaire, mais le dénominateur sera d'un degi'é plus petit que celui du numérateur. Pour avoir les fonnules qui répondent à ce cas, il suffit de mettre
dans les deux équations (222, 224), — au lieu de x. Cela donne
(S(x,r) = -fJ-^^^- = -f fi)(3,c), c'œo{x, c) z= -\-j.-^^^-- = -j c»ûîo(z, e) —
Donc en substituant dans la fbnnule (224) et mettant z=^x^
(225) *o'»«)„0/, cf) = {2 II + 1) c*m,{x, c) -2e\a\ + a* -| 1- «r »)(D(a:, c)
+2^.^(^v«) i-,,<.xï + r^cw + • • • +]--.>««>
L'expression de y sera, en vertu de la formule (223),
e x{a\ — ,r ^) (aj — ,r ») ... (a J — ^»)
y a\. al .V. a* ' (1 —~c'^a\x^) (1 — c^alx^) . . *. (1 — c*«^.?;»)
Pour donner un exemple soit
c'= . ,-> y = (l4-<^)i— /^ ;i? fz=l-4-^;
alors on a // = 2, et la fonnule (222) donnera, pour /f=l,
Transfortnation des foiictioti/i (le la froùtième espèce. Hoit maintenant
x^ du ^ (Ix
hin mettant pour ~^ ,\ sa valeur e-rz — ? on aura (226) n(y,c',a')= ^ ''"'
Pour réduire le second membre aux fonctions elliptiques il faut décomposer la fraction rtitionnelle — , en fractions partielles. Soit donc d'abord
où il est clair que k' est une constante. Pour détenninei' A^ A^^ . , . ou aura d'abord
A = — , pour a: = a,
donc
or on a
donc en faisiint a; = (7. et remarquant que la valeur de y deviendra alors a', on aura
et par conséquent
~ eJ(a', r') '
En substitiuiut ou aura par couséqueut
^ ^ a' — y * eJ{a', c') \ a^ — œ ' «g — .r ' ' a^, — x \
En désignant de inênie les racines de l'équation a-\-y=.0 par i^, i^, . . . 6^, on aura
. En ajoutant ces valeurs de .- - et , ,- on aura celle de ,„- — ^« Mais
il suffit de considérer la formule (227). En la nuiltiplîant par -jr—R et intégrant, il viendra
Cela posé, ayant = -?-"t-j, ou eu tire
/(if 1 __ , , 1^ /' ,T(Lt
De même on aura
/dif 1 j- . , f\\^f ydy ia'-y)J(y,c')- a' '^ U^» « > « :> "h J ia'^-y^)J(y,c')- '
Donc la formule (228) donnera en substituant
Aa',c') , , ,, , , , r yibj
Les intégrales (^ui entrent encore dans cette fonnule seront, connue on le voit, exprimables par des logarithmes.
On aura par conséquent
(230) •^^"/'^'^ ri{y,c\a') = Km{:x,c) + 2:^^y^ n{x,c,a)-\-v'.
U (JL
Il est à remarquer que cette fonnule ne contient pas de fonctions de la seconde espèce.
La fonction de la troisième espèce n(ij^c\a) est donc ainsi réduite à la fonction de la première espèce «J(x, rî) et à fi fonctions de la troisième espèce.
Or je dis qu'on pourra toujours exprimer les /t fonctions du second membre par une seule. C'est ce qui est facile à prouver à Taide des fonuules établies dans les chapitres précédens. U'abord si Ton détermine une quantité a de sorte que l'équation
{fxy - {cpxy [J{:x, c)]* = (x* - a?) (x^ - ai) ...{x'- a;|) {x' - a')
soit satisfaite, fx et (px étant des fonctions entières de ce, dont Tune est paire et l'autre impaire, on aura sur le champ, en veiiiu de la formule (104),
Donc en substituant:
Quant aux coefHciens des puissances de x dans les deux fonctions fx et yjc, ils sont détermhiés par les ii équiitions suivantes:
fa^ -\- (pa^ . ^(«8, c) = 0,
auxquelles il faut ajputer celle-ci:
fa -\-(pa.J{ajc) = 0^
pour détenniner le signe du radical ./(a,r;).
On peut encore réduire les fonctions du second membre de l'équation (230) d'une autre manière: on pourra les exprimer par l'une quelconque d'entre elles, conmie nous allons le voir.
Soit a l'une quelconque des quantités a^^ a^^ . . . a^. Alors comme elles seront les racines de l'équation
a'=y = yj{x),
elles auront, en vertu de ce qui a été démontré dans le troisième paragraphe du chapitre précédent, toutes la fonne
aJ(e,c) + ^ K^h^) 1 — c^e^a^
OÙ e est une constante indépendante de a. Soit donc
^ ^ "* l—c*eia*
on aura en vertu de la fonuule (112)
+ /?„ ffi(x, c) + •^^'; ' ''^ fT{x,c, «,„) + log ^„ . La formule (230) deviendra donc en substituant (233) -^^"^ /7(y,c',a') = (fc, + A + /î»+ ' ' • +/?,-,) fi)(^, c)
+ .« ^^y^- n{x, c,a)-\-^ ^'>- n{x, c, e J + y' + logÀ\ + log/S2-| f-log/S^^i.
J(e c) Je dis maintenant que -2* >-'î"-^ /7(a;, c, e„) se réduit à zéro. En effet, si
Texpression de a^ est racine de l'équation a' — yz=0^ elle le sera encore en mettant — e^ pour e„. Si donc ft est un nombre impair, les termes qui
composent l'expression -2* --^'"' - /7(:c, c, e„) sont deux-à-deux égales et de
signas contraires. Si /i est mi nombre pair, l'expression dont il s'agit se réduira
à un seul terme - ' '^ [l{x^c^e)^ où e est zéro ou Inifinî. Si e est nul,
ce terme le sera de même. Si e = ^, la valeur correspondante de a„ est
+ - , donc en vertu de la formule (115)
THEORKMES ET PROBLEMI^ii.
Journal fur die reine and augewandte Mathematik, heraasgofceben von CrfUe, Bd. 2, Berlin 1827.
Théorème. Si la somme de la série infinie
est égale à zéro pour toutes les valeurs de x entre deux limites réelles a et /?, on aura nécessairement
«0 = 0, ajr=iO, «8 = 0, . . . a„ = 0 . . . ,
de sorte que la somme de la série s'évanouira, pour une valeur quelconque de X.
I^ohlhne. En supjK^sant la série
fxT=-(iQ-\-a^X'\-a^x'^'\- • • »
convergente pour toute valeur positive moindre que la quantité positive > a, on propose de trouver la limite vere laquelle converge la valeur de la fonction fx^ en faisant converger x vers la limite a.
Théorème. 8i l'équation différentielle séparée
a dx dy
OÙ cf, /?, /, (T, f, a sont des quantités réelles^ est algébriquement intégrable, il faTit nécessairement que la quantité a soit un nombre rattonncL
Théorèmes et problèmes. f)19
Problème. Tix)uver une intégrale algébrique des deux équations séparées:
dx V3 dy
ys+f ^2 | ^i ~ y^"— 3^2-^:^-4 '
rf^ V3 dy
Joamal fUr dio reine and angewandte Mathematik, herausgegebeu von Cnlle, IM. 3, Berlin 1828.
Problème. Le nombre a^ ^ — 1 peut il être divisible par /i*, ft étant un nombre premier, et a un entier moindre que a et plus grand que l'unité?
