c^ei„r

il est clair qu'on aura

p et q étant des fonctions rationnelles de x. Cela fait voir que v?/ et ^2^+i|^/8/«+i g^j^^ ^çg fonctions rationnelles de a:; or je dis qu'on poun-a

exprimer ces quantités en fonction rationnelle de y. En eifet, en vertu de la fomie de v Qt v'^ il est clair que si Ton fait

vv' = (px, î;*''+^-fv'*^+^=/c,

les deux fonctions (px et fx ne changeront pas de valeur si Ton met pour X les 2^a-f-l quantités

Xm "X^ • » • Cr X»

Donc on aura

fx = j^{fx-\-fex-\- . • . -\-fe*''x) = v*''*'-^v''''*K

Ces expressions des quantités vv\ v*'"+*~|-i;'*^+* sont des fonctions rationnelles et symétrtque^^ des racines de Téquation yz=tpx] donc on pourra les exprimer rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-àdire en y.

Faisons donc

vv' =i s

S et f seront des fonctions rationnelles de y. On en tire

On connaît donc la fonction v. Cela posé, si l'on désigne par Vq, «, , v^ , . . • Wj^ les valeurs de v qui répondent respectivenient aux racines 1, rJ, tf*, (f\ . . . â''' de l'équation â*''*^ = 1 5 on aura sur le champ

''^ = jfr+î('"o+^~''''+^~"''''-^ h<^-*"''%),

ce qui est Vexpressiim générale des racines.

On aura ainsi une classe très étendue d'équations algébriques de tous les degrés qui seront résolubles algébriquement. Nous n'entrerons pas ici dans des détails sur ce sujet, mais nous renvoyons nos lecteurs à la seconde partie de ce mémoire, oh nous en donnerons des développemens étendus à cause des belles propriétés des fonctions elliptiques qu'on en peut déduire.

Comme cas particulier on pourra remarquer l'équation

^^ = yi

où x^ désigne la fonction rationnelle de x du degré /i*, qui satisfera à l'équation

dxjj, dx

JXf^ ^ Jx

On en pourra donc toujours tirer la valeur de a; en y à l'aide de radicaux. Si /f est un nombre impair, on pourra donner aux racines cette forme très simple:

où ^1, ^2, />3 . . . sont des fonctions entières impaires de y du degré //, et 2i j 52 7 ?8 • • • des fonctions paires de y du degré /ti — 3. p^ et q„ seront déterminés par l'équation

pi-qlii-y')ii-cY)=(i/'-eir,

où e^ est une constante, savoir une racine de l'équation x^ = 0.