Considérons maintenant les intégrales

f x''iF(x) — Ot(x)']dx.

Une intégration par parties donnant

fx>'F{x)dx = ^-^x'' + ^F{x) — ^^ fx^f{x)dx il vient, en introduisant les quantités a* définies par la formule (1) (3) /x*F(x)da:=«^^^^±^^p±i.

Ensuite d'après la définition même de G (x) j x>'Q{x)dx = Aj^

ifc+l

-f-(Ai4-A2 + --. + A^-0 "yi^^f^

+ (Ai + A2 + ... + A„) — ^:pY='ou bien

/.'OWto^A." ,/; +A,' ^^\^ +... + a/--^-

et définitivement en ayant égard aux formules (2)

(4) . . / 'a;* G {x) dx = "°--^' iTi"* "^ ' ' k = 0,l,2 2m — 2.

Les équations (3) et (4) montrent que

/ a;*[F(x) — G(a;)]da; = 0. A: = 0, 1 , 2, . . . , 2w — 2

On en conclut que le nombre des changements de signe de F(a;) — G(a;) dans l'intervalle (a, b) est au moins égal à 2m — 1.

Mais nous venons de voir que ce nombre est 2m — 1 ou plus; il est donc exactement égal à 2m — 1, et de là on conclut les inégalités (A')» qui sont équivalentes aux inégalités (A).

7. Les quantités A, et la fonction G{x) dépendent encore du nombre entier m. Pour mettre en évidence cette dépendance nous écrirons maintenant A™ et G'"(a:) au lieu de A, et G(a;). D'après cela la signification de

Ar + ' t = l,2,...,m4-l

et de

6'" + i(a;) est claire. Quant aux quantités qui doivent remplacer

en changeant m en m -|- 1 , nous les désignerons par

On sait alors que

(5) a < a;l< a;i < a/2 < a>2 . . . < «m < Xm + i < 6.

Au lieu des équations (4) nous aurons

/'''a;*G'»(x)da: = ""^''^'~°* + ' A = 0, 1, 2, . . . 2m - 2,

/• a.fcG»' + i(a;)da;="° k4-l''^^ ft = 0, 1, 2, . . . , 2m.

On en conclut que

doit présenter au moins 2 m — 1 changements de signe dans 1 intervalle (a, h) et ensuite, exactement de la même manière que tout à l'heure

G"- (a* + «) > G*»- ' {Xk) > G"» (xic — s)

OU bien

Ar + A^ + . . . + Ar > Ar + ' + K+' + -■■ + A?+^

Ar + Aor + . . . + Ar i< Ar+' + Ar+^ + . . . + Ar+^

Ce sont les inégalités que j'ai données sans démonstration dans les Annales de l'École normale (3* Série, t. 2 pag. 184).

On remarquera sans peine que , dans ce raisonnement , il n'est pas nécessaire de s'appuyer sur les inégalités (5). Au contraire, le raisonnement fournit une nouvelle démonstration de ces inégalités.

8. Dans le mémoire „Sur les valeurs limites des intégrales" M. Tchebychef a proposé une question intéressante relative à certains maxima et minima.

Plus tard il a exposé plus complètement les résultats qu'il a obtenus dans un mémoire publié en russe dans l'appendice au tome 51 des Annales de l'académie des sciences de St. Pétersbourg (1885). On doit une traduction française de ce mémoire à M™^ Kowalevski. (Acta mathematica t. 9. 1886).

De son côté M. Markoff s'est occupé de la même question en la généralisant encore, à la suite de son travail sur les inégalités de M. Tchebychef. Son mémoire „Sur quelques applications des fractions continues algébriques" (1884) a été publié en russe.

Plus récemment M. Markoff a encore donné à sa solution plus de généralité dans les Acta mathematica t. 9 (1886). (Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebychef.)

Pour compléter les renseignements bibliographiques sur cette question , nous devons citer encore :

le livre de M. C. Possé „Sur quelques applications des fractions continues", St. Pétersbourg 1886 (en français) , où l'auteur a reproduit , quant aux traits principaux, la solution donnée par M. Markoff dans son premier mémoire russe,

et enfin r„Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite par M. Markoff." (Annales de l'École normale 3' Série t. 8. 1886).

M. E. F. van de Sande Bakhuyzen nous a signalé que ce Mémoire, dont les résultats avaient été obtenus dès 1875, fut publié en 1876, par le père de Stieltjes et à l'insu de ce dernier (C).

Pour un autre exemple, on peut consulter Tannery, Introduction à la théorie des fonctions d'une variable, p. 285. Dans son cours à la Faculté des Sciences de

Toulouse, Stieltjes traitait l'exemple simple, consistant à déterminer / x"*dx,

en intercalant entre a et 6 des moyens formant constamment une progression géométrique (C).

Note de l'auteur.

Des formules (12) et (14) on déduit encore

1 /-«e— XUyp— 1

et

Lim V' (a;.p)p=o = a; — |.

Pour plus de développements voir N^. VIII.

Ch. Hermite, Sur la formule d'interpolation de Lagrange (J. Math. Berlin, 84, 1878, 70) (C).

Rapport sur ce mémoire par M.M. Grinwis et Schols (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet., Sér. 2, 17, 1882, 206).

G. Frobenius, Ueber die Leibnitzsche Reihe (J. Math. Berlin, 89, 1880, 262—264) (C).

Voir Bul. Sci. math., Paris, Sér. 2, 5, 1" part. 1881, 157, 181 (C). Les manuscrits de Stieltjes, contiennent une suite de calculs sur différentes algorithmes, p. e.

a, = Vcrb b, = "^i-^

Lettre 323.

Lebesgue, Suite des recherches sur les nombres p. 51, 52, Remarque 1° (J. Math. Paris, 4, 1839) (C).

Rapport sur ce mémoire par M. M. Bierens de Haan et Grinwis (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet, Sér. 2, 17, 1882, 381).

Pour plus de développements voir N". LXIV.

La démonstration de Stieltjes a été reproduite par Tisserand dans son Traité de Mécanique Céleste t. I p. 448. Voir aussi Poincaré, Leçons de Mécanique Céleste T. 2. r« Partie p. 81.

Lettres 1, 6.

Lettres 6, 7, 9,

Extrait d'une lettre adressée à M. E. F. van de Sande Bakhuyzen par Stieltjes.

(Traduction).

Paris 10 Dec. 1885.

Si je ne me trompe Jordan's Taschenbuch der praktischen Géométrie est en votre possession. C'est pourquoi je vous prie de vouloir m'informer si dans ce livre,

en traitant du problème de Pothenot on a déjà donné un critère pour la possibilité de ce problème. Il parait que Gauss a remarqué le premier que le problème n'est pas toujours possible ; mais quoiqu'il en parle dans sa correspondance avec Schumacher III p. 46 — 50, il ne donne point de critère. Dans son Handbuch

p' der Vermessungskunde I "^ ,--'''"' p 321 2>^"» Ed. Jordan,

' en traitant de cette question donne un critère bien simple. Malheureusement ce critère est inexact. Pour s'en convaincre on n'a qu'a considérer l'exemple suivant. Soit Pj P^, Pg un triangle équilatéral, a = l°,p=nO°; dans ce cas y = 60° et a +/Î + }' <360° et pourtant le problème est impossible. En effet d'après la valeur de a, P serait situé sur une circonférence C de rayon très grand et d'après la valeur de ^ sur une circonférence C^. Ces circonférences ne se couperont à l'exception du point Pg qu'en un point P' qui ne convient pas, mais qui correspond avec la direction P Pg opposée à la direction donnée PPg. Je n'ai pu trouver nullepart le critère exact; et s'il n'est pas connu je voudrais bien le donner dans une communication à l'Académie des Sciences.

Lebesgue, Suite des recherches sur les nombres p. 51, 52, Remarque 1" (J. Math., Paris, i, 1839) (C).

Lettre 9.

Voir une note de M. E. Cesaro. Sur un théorème de M. Stieltjes (Paris, C.-R. Acad. Sci., 96, 1883, 1029—1031).

Lettres 10, 11.

Cette note dépassant la limite réglementaire de trois pages d'impression a été divisée en deux parties, de sorte que cette note n'est que la première partie et le N". XIX la seconde partie de la note originale. Lettre 19.

Lettres 13, 14.

Lettres 19—25.

Lettres 14—17, 27, 28.

Lettre 41.

A. Hurwitz, Sur la décomposition des nombres en cinq carrés (Paris, C.-R.

Acad. Sci., 98, 1884, 504) (C).

Lettre 41.

G. Oltramare, Sur la transformation des formes linéaires des nombres premiers

en formes quadratiques (Paris, C.-R. Acad. Sci., 87, 1878, 734) (Cj.

p. 339. Cette autre démonstration a été donnée par l'auteur N" X p. 274 de

ce recueil.

Ici l'auteur rencontre un théorème d'Algèbre qu'il a développé dans le