XXXVII) (C
Lettres 48—53.
Le lecteur pourra se reporter à la fin de la page 497 du Mémoire : Recherches sur les fractions continues (N" LXXXI) (C).
Les inégalités (1) se déduisent des équations (4) du N" XXXI p. 388 de ce recueil.
Ce travail a un rapport intime avec les recherches de M. A. Markofif, Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebychef (Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 67) (C).
On trouvera dans le Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand (t. II, p. 227 et suivantes) une démonstration due à M. Radau, de quelques-uns des résultats de Stieltjes (C).
Rapport sur ce Mémoire par M. M. Kamerlingh Onnes et D. J. Korteweg (Amsterdam, Versl K. Akad. Wet, Sér. 3, 1, 188i, 268—271).
E. Netto, Ueber orthogonale Substitutionen (Acta Math., Stockholm, 9, 1887, 295 — 300). Zur Théorie der orthogonalen Determinanten (Acta Math., Stockholm, 19, 1895, 105—114) (C).
H. Taber. On a Twofold Generalization of Stieltjes' Theorem (London, Proc. Math. Soc, 27, 1896, 613—621).
F. Klein, Ueber Lamé'sche Functionen (Math. Ann. Leipzig, 18, 1881, 237). Heine, Traité des fonctions sphériques 2* édition, t. I, p. 472 et suivantes (C).
G. Polya. Sur un théorème de Stieltjes (Paris, C.-R. Acad. Sci. 155, 1912, 767). E. B. van Vleck. On the polynomials of Stieltjes (New York, Bul. Amer.
Math. Soc, Sér. 2, 4, 1898, 426—438).
Lettres 64—66, 347.
Les polynômes U„ sont ceux que Hermite a rencontrés en cherchant la dérivée
„ième de la fonction e" '^ (Paris, C.-R. Acad. Sci. 58, 1864, 93, 266). Lettre 66.
Lettre 67.
G. Darboux, Sur la série de Laplace (Paris C.-R. Acad. Sci., 68, 1869, 324) (C). Note de l'auteur.
X — x, , lX-x\^
SoitAX) = A„+A,-^ + A,(^) +
Multipliez par 9"* ^X), différentiez m fois par rapport à X, puis posez X=x. Il vient ainsi
I D'»/(a;)(p'»(a;) = A„D^v5"'(a;) + OTAiDj-iç)'»-i(a;)4- |-f m(m— \) A^D^-^ <p"'-^- (X) -\- . . . -j- m(m — 1) . . .2 . 1 A„
Multipliez par Wî<p"' -^ (X) cp' (X), différentiez m — 1 fois par rapport à X, puis posez X = a;, il vient
D'^-i»î<^"'-'(Jî)'p'WAaî)=A„JwD'»-iç)'"-V'4-AiW?(w— l)D™-2,/,»»-29/-|- + A^ m (m — 1) (m — 2) D'J'-^ t-"'-^ y' + . . . + A^ __, w (m — 1) . . . 2 . 1 ?>' ou
I D^-1 mç?'"-! (aj) 95' {X) fia:) = A„ D'» 7 »' + w Aj D'»-' t-"»-! + i + m (w — 1) A. D»'-2 ,;»» -2 | . . . | ,„ (,„ 1) . . . 2 A„, iD,. ç>. En retranchant les deux équations (1) et (2) on obtient
1 . 2 . 3 . . . m A,„ = D^/'(a;) cp"" (x) — D'^-^mf'" "Hx) '/>' (x)f(x) ou
Au sujet de l'origine de cette intégrale, on pourra lire par exemple, dans le Bulletin astronomique (t. II, p. 573 et suivantes), l'analyse, faite par M. Radau, d'un Mémoire de M. Schols. (C).
Ch. Hermite. Note au sujet de la communication de M. Stieltjes „Sur une fonction uniforme". (Paris, C.-R , Acad. Sci. 101, 1885, 112—115) (Cj.
Dans son raisonnement sur la convergence de la série 1 : C (s) = \^ -7
s démonstration, d'après la lettre 79, qu' reste comprise entre deux limites fixes. On
pour s > ^ Stieltjes admet sans démonstration, d'après la lettre 79, que gjn) ^ /■(!)+ Al) +• ■+f(n) Vu Vu
trouve dans les papiers laissés par Stieltjes un table de g (n) pour les valeurs 1 jusqu'à 1200, 2000 jusqu'à 2100 et 6000 jusqu'à 6100. Apparemment l'hypothèse de Stieltjes s'est fondée sur l'examen de cette table.
Voir aussi R. Daublebsky von Sterneck Empirische Untersuchung Uber den Verlauf der zahlentheoretischen Function a(n) (Wien Sitz. Ber. Ak. Wiss. 106
E. Cahen. Sur un théorème de M. Stieltjes (Paris, C.-R. Acad. Sci., 116, 1893,
Pour le théorème II on peut consulter le N*^ LIV.
Le résultat cité de Dirichlet contient un signe fautif; en effet
/-(!) + /-(2) + . ■ . + / (M) — n log M — (2 C — 1) M
Vn
reste comprise entre deux limites finies (Dirichlet, Abh. Berl. Ak. 1849, 73).
xLvr.
Pour plus de développements on peut consulter la lettre 86 où la première formule (y') de III est démontrée au moyen des propriétés fondamentales de la fonction & et des sommes de Gauss.
Voir aussi Appendice, lettre 3.
La communication de Septembre 1885 est reproduite dans le N^ XLVI de la présente édition.
Lettre 84, ou l'on voit comment l'auteur obtient les formules (C) et (D).
Lettres 85, 86.
Voir aussi Appendice, lettre 3.
Lettres 93, 94.
Thèse de doctorat.
La thèse de doctorat, citée par l'auteur p. 64 est le N** XLIX de ce recueil.
Lettre 99.
