Supposons maintenant

a; = cos0, 0<6)<7i,

La droite D se confond avec l'axe réel; le contour abcd peut donc être tracé tout entier dans la moitié supérieure du plan ; il en sera donc de même du chemin dans l'Intégrale transformée

^ = / .-.«7 érxî dtt.

Pour achever le calcul de cette intégrale , nous suivons la méthode donnée par M. Hermite dans son Cours de la Sorbonne (3® édition , p. 173). En intégrant par parties n fois, il vient, en faisant attention à la formule (21),

a = / — ^' du J u—x +1

ou

Or, X étant réel et compris entre les limites ± 1 , et le chemin d'intégration étant tracé dans la moitié supérieure du plan , on a

/~i du . /l+a;\ ,

d, en effet, doit être de la forme a P"(a;) + /îS''(a;); on a donc nécessairement

/•+ip«(a;) — P"(m)

îR»(a3) = /

^ = 2B"{x)-{-niF"{x)

du,

et de même

^ = 2S»(a;) -7rîP»(a;).

Il est aisé de vérifier la formule (23) ; car on constate facilement que, P"(x) étant un polynôme quelconque en x, l'intégrale du second membre est toujours la partie entière de

12. Nous pouvons obtenir maintenant un développement en série de S''(cos 6) entièrement analogue au développement de P"(cos 0). En effet , les formules (4) et (24) donnent

-1 (1— M)»dM

S"(cos ©) = partie réelle de |»+i Fl — A f c'est à-dire

Vu{l — ku)

S" (cos 0) = partie réelle de

ie(ne + ia)i /-l (1 M)»dM

d'où l'on conclut

(25) - S" (cos 0) = — C„

K2sin0 J Vu{l — ku)'

12 sin (n 0 + I a)

sin (n 0 + i «) I

K2lïir0 2 12 >r+ 3) l/(2sTrr^