î)('-i)l=^IK'+^+-+7.)-('+i+-+?)l

En continuant ainsi , on obtient finalement

= fm):

p)\ q/\ r)"'\ u) c'est l'expression cherchée ; on peut l'écrire plus explicitement

On rencontre souvent des fonctions numériques qui jouissent de la propriété

(3) f(ab)=f(a)xnb)

lorsque a et 6 sont premiers entre eux (voir Chap. I , n° ]4). Il est clair qu'une telle fonction est parfaitement déterminée lorsqu'on connaît sa valeur pour les puissances des nombres premiers , mais ces valeurs-là peuvent être prises arbitrairement.

On voit facilement que, si la fonction /"qui figure dans la relation (1) jouit de cette propriété (3) , on aura aussi , a et 6 étant premiers entre eux.

F(a6) = F(a)XF(6),

et l'on reconnaît maintenant par les formules (2) ou (2') que, réciproquement, si deux fonctions f et F sont liées par la relation (l), et si la fonction F satisfait à la relation (4), la fonction f satisfera à la relation analogue (3).

Le théorème, souvent utile, de ce numéro est dû à M. Dedekind (Journal de Crelle, t. 54, p. 21). On l'établit ordinairement par une simple vérification. En exprimant au second membre de (2') partout la fonction F par la fonction /", on constate qu'il ne reste que le terme /■(M) : tous les autres termes se détruisent.

6. En revenant au cas particulier de la fonction q)(M.), F (M) = M , on trouve

ç> (M) = p«-i g^-i . . . M^--Mp — 1) (2 — 1) • • • (M — !)• Ayant (p(ab) = q)(a) (p(b) lorsque a et 6 sont premiers entre eux, on peut remarquer que , a étant impair , on a , à cause de 95 (2) =: 1 ,

A l'exception de ç? (1) = ç? (2) = 1 , (p (a) est toujours pair.

7. Dans la théorie des nombres , on se propose , sur les congruences, des problèmes analogues à ceux qu'on traite en Algèbre sur les équations.

Ainsi on pose la question de trouver les nombres x qui satisfont à une congruence , telle que

f(x) = 0 (modM), où le premier membre est un polynôme à coefficients entiers en x.

Si l'on satisfait à cette congruence en faisant x = Xq, Xq est une racine de la congruence. Il est clair que tout nombre congru à Xq suivant le module M satisfera alors aussi à la congruence , mais on a l'habitude de ne pas considérer comme différentes ces solutions. Aussi , si l'on dit qu'une congruence admet k racines, cela veut dire k racines incongrues, ou encore, ce qui revient au même, l'ensemble des nombres qui satisfont à la congruence se répartit en k classes. Il est clair , U 19

d'après cela, qu'on obtient toutes les racines d'une congruence, en essayant successivement tous les nombres d'un système complet de ré sidus, par exemple les nombres

0, 1, 2, ..., M — 1, mais ce moyen devient impraticable dès que M est un peu grand. Si tous les coefficients du polynôme f(x) sont divisibles par M, la congruence est identique, un nombre quelconque y satisfait. La congruence est impossible évidemment lorsque tous les coefficients de f{x) sont divisibles par M, à l'exception du terme indépendant de x.

Il est clair, du reste, qu'il est permis de remplacer un coefficient quelconque de f(x) par un nombre congru suivant le module M.