Étant donnée une matrice

ai, 02, ..., a„ + i ou II A II

du type 1 X (w -|- 1). dont d est le plus grand diviseur, nous avons vu (Chap. II , 22) qu'on peut trouver toujours une matrice

du type w (n -f 1) , telle que le déterminant

AI

Proposons-nous maintenant de trouver la solution la plus générale de ce problème. Il est clair, en divisant tous les éléments de || A H par d, qu'on peut supposer d = 1. Cela étant , si l'on a

Il C il étant une solution quelconque, nous savons, par le théorème VI, qu'il existe toujours une matrice || E || du type {n -\- l) X {n -\- 1) (et une seule) , telle que

oïl ||E|| = ±1. Mais il est clair que la matrice ||E forme particulière

doit avoir ici la

Pi

ei,i

. ei,n

Pn

fn,n

Pi)P2> ■ ■ -iPn étant arbitraires et | e,;^ I = ± 1. Avec cette expression de ||E II, la formule (1) renferme donc toutes les solutions du problème et chaque solution une seule fois. On peut mettre cette solution sous une autre forme en remarquant que la matrice || E || peut se mettre sous la forme

0 ei,i ..

. ei,n

0 en,i .

Qn

?i> 22» • • • I Sn étant des nombres qui peuvent avoir des valeurs arbitraires. En substituant cette expression dans la formule (1), on obtient sans difficulté la matrice la plus générale ||C|| qui satisfait au problème, sous la forme

||C|| = ||e.-,fcl|X||6<,*-f giaftjl,

Il B II =: Il bi,k II étant une solution particulière.