XXXVII) (C

Lettres 48—53.

Le lecteur pourra se reporter à la fin de la page 497 du Mémoire : Recherches sur les fractions continues (N'^ LXXXl) (C).

Les inégalités (1) se déduisent des équations (4) du N" XXXI p. 388 de ce recueil.

Ce travail a un rapport intime avec les recherches de M. A. Markoff, Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tchebychef (Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 57) (C).

On trouvera dans le Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand (t. II, p. 227 et suivantes) une démonstration due à M. Radau, de quelques-uns des résultats de Stieltjes (C).

Rapport sur ce Mémoire par M.M. Kamerlingh Onnes et D. J. Korteweg (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet., Sér. 3, I, 188i, 268—271).

E. Netto, Ueber orthogonale Substitutionen (Acta Math., Stockholm, 9, 1887, 295 — 300). Zur Théorie der orthogonalen Determinanten (Acta Math., Stockholm, 19, 1895, 105—114) (C).

H. Taber. On a Twofold Generalization of Stieltjes' Theorem (London, Proc. Math. Soc, 27, 1896, 613—621).

Lettres 61—63.

F. Klein, Ueber Lamé'sche Functionen (Math. Ann. Leipzig, 18, 1881, 237). Heine, Traité des fonctions sphériques 2" édition, t. I, p. 472 et suivantes (C).

G. Polya. Sur un théorème de Stieltjes (Paris, C.-R. Acad. Sci. 155, 1912, 767). E. B. van Vleck. On the polynomials of Stieltjes (New York, Bul. Amer.

Math. Soc, Sér. 2, 4, 1898, 426—438).

Lettres 64—66, 347.

Les polynômes U„ sont ceux que Hermite a rencontrés en cherchant la dérivée

„ième de la fonction e~ - (Paris, C.-R. Acad. Sci. 58, 1864, 93, 266). Lettre 66.

Lettre 67.

G. Darboux, Sur la série de Laplace (Paris C.-R. Acad. Sci., 68, 1869, 324) (C). Note de l'auteur.

SoitAX) = A„+A,^;' + A,(^; + ...

Multipliez par (p*" ^X), dififérentiez m fois par rapport à X, puis posez X:^x. Il vient ainsi

j D^f(x) ç)"* {X) = A„ D» (p™ (x) -f w Al D»' - 1 9^»» - 1 (x) + ^' • • • j-|-m(m — l)A2D»-V"~Ma;) + ... + m(m — l)...2.1Am.

Multipliez par mq)"'-'^ (X) g?' (X), différentiez m — 1 fois par rapport à X, puis posez X =: a;, il vient

+ A2 m (/« — 1) (/« — 2) D^ -3 99'" -3 9,' + . . . + A„ i wt (w — 1) . . . 2 . 1 çp' ou

I D™-i mçs'» -1 (a;) y' (a;) /•(a) = A,) D« ç™ -f w Aj D^-1 7)'» -1 + ^^ ■ ■ • î + m(OT— DA^D^'-^ç.™ -2 4....^^ (,„!)... 2A,„iD,,ç>. En retranchant les deux équations (1) et (2) on obtient

1 . 2 . 3 . . . w A,„ = D^ f{,x) (f'" (X) — D;? - 1 m(p'" - 1 (x) 7/ (a;) f{x) ou