T1-T2 + . .±T„TR

une telle série, Tj, Tg, . . . , T„, R„ étant positifs Remarquons d'abord que la circonstance que R„ est positif entraîne déjà nécessairement que R„ est inférieur à Tn et T„ + i; car la relation

Rn — 1 -j- R" ^= Tn

montre que R„i et Rn sont inférieurs à T„.

Maintenant, au lieu de chercher le plus petit terme, on peut se proposer de trouver le minimum de R„, en sorte qu'on est conduit à considérer l'équation transcendante

dRn^ dn ~ '

qu'on pourra remplacer aussi avec approximation par R„i = Rn.

La valeur de n qu'on en tire diffère très peu du rang du plus petit terme, circonstance qui permet d'expliquer la remarque suivante qu'on a faite dans quelques cas particuliers. Supposons que la racine

fî Ji de -r " = 0 tombe entre n — 1 et n. Alors on aura, d'une manière dn

approchée, R„i = R„, et l'erreur sera seulement une fraction faible

de R„. On en conclut qu'on a aussi à peu près R,, ^ ^ T„, en sorte que l'erreur de l'expression

Ti — T2+-±Tn-i + iT„

sera seulement une petite fraction de T„, qui est d'autant plus faible que n est plus grand. Ajoutons qu'on peut aussi , dans le cas actuel , développer R» en série semi-convergente, suivant les puissances descendantes de n; le premier terme de ce développement montre alors qu'on a

lim R„ : T„ = ^ pour n ^ 00 .

Voici maintenant les séries dont nous avons fait l'étude. Nous avons peu insisté sur les séries de première espèce. Le logarithme intégral nous a fourni le premier exemple d'une série de seconde espèce. Nous con-

. , , f^ sinaw , f^ucosau ,

sidérons ensuite les transcendantes / ^i — j — wdu, / -; — j — ^r du, qui

donnent aussi des séries de seconde espèce. On a choisi ces intégrales, parce que le résultat auquel on est conduit nous est utile encore dans la suite.

Nous arrivons maintenant à un exemple tiré de la théorie de la fonction r. Après avoir rappelé en quelques mots le résultat principal des nombreuses recherches auxquelles a donné lieu l'étude de la série qui sert à calculer log r {a), nous considérons une autre série, n'ayant rien à ajouter à un sujet qui est si bien exposé dans la première partie du travail de M. Bourguet sur les intégrales eulériennes. La considération de log V {ai) conduit à une série de seconde espèce, composée des mêmes termes que la série de Stirling dont nous faisons l'étude. Le résultat auquel nous arrivons permet de se faire une idée nette de la

manière dont se comporte la fonction holomorphe -^tt-: , lorsque la variable z décrit l'axe des y.

Nous abordons ensuite l'étude des intégrales de l'équation différentielle

d?z . \ dz .

dar' a da

qui se présente dans plusieurs questions de physique mathématique.

L'une des intégrales

est holomorphe dans tout le plan. Poisson a donné une série semi-convergente pour calculer J (a) dans le cas où a est très grand. Cette série a été l'objet d'un travail de M. Lipschitz (Journal de Borchardt, t. 56), qui en a donné le premier une théorie rigoureuse. Nous reprenons l'analyse de M. Lipschitz : une modification légère nous permet de préciser encore le résultat auquel était arrivé le savant géomètre allemand. Nous obtenons en même temps une série semi-convergente analogue, qui permet de calculer une seconde intégrale de l'équation différentielle. Toutes ces séries sont de première espèce.

Nous considérons ensuite les deux intégrales de l'équation différentielle dans le cas où l'argument est de la forme ai. On est conduit ainsi à deux séries semi-convergentes données par Riemann , qui avait rencontré ces fonctions dans une question de physique mathématique (Zur Théorie der Nobili'schen Farbenringen , Oeuvres, p. 54, 1855).

L'une de ces séries est de première espèce, et sa discussion n'offre pas de grandes difficultés; mais la fonction J(ai) donne cette série de seconde espèce

Dans ce cas, la résolution approchée de l'équation R„ = 0 présente des difficultés que nous n'avons pu surmonter que par une analyse assez délicate.

Enfin nous étudions un cas intéressant, donné par M Schlomilch en 1861 ; il s'agit d'une série de seconde espèce qui peut servir au calcul de la fonction

et nous obtenons encore dans ce cas la solution approchée de l'équation transcendante R„ = 0,

recherches sur quelques séries semi-convergentes. 9

Étude du logarithme intégral.

1. Le logarithme intégral fournit un exemple très simple d'une série de seconde espèce que nous allons discuter avec soin. Nous partons de la définition

.. , : f' au

j log M '

mais , dans le cas a > 1 que nous avons en vue , cette définition a besoin d'être précisée de la manière suivante

li(a) = Limff^-;-^+r,—

e=0 \J lOgU ' J lOgM,

En remplaçant l'argument a par e" et en posant ensuite u=:e'*^^-''\ il vient

Nous désignons ici , comme toujours dans la suite , par e une quantité positive et infiniment petite. En employant maintenant l'identité

on a évidemment

/i — g /-oo 12 4

et il vient

(2) . . li(e'') = e«

^L 1 i 4- lil 4. 1 1 • 2 • . • (n - 1) , R L a "•" a2 "f" a^ "^ • • • "^ o" ^" "".

/-1-e v«e-ot! .=c^ng-av

Rn= / -z dv i- / — dv.

Comme on voit, R„ est ce que Cauchy a appelé la valeur principale

/oo fjn /) — av -^ dv, et nous retrouverons dans la suite constamment 1 — v

cette forme du terme complémentaire des séries de seconde espèce. Cette forme même de R„ montre bien que R„ va toujours en diminuant lorsque n augmente.

Nous devons nous occuper maintenant de la résolution approchée de l'équation R„ = 0. Pour cela nous posons a = n-\-T],

et nous développons maintenant R„ en série semi- convergente suivant les puissances descendantes de n. Comme on suppose que rj a une valeur finie , la supposition a ^ n -\- rj indique évidemment que nous considérons le reste d'un terme T„ dans le voisinage du plus petit terme.

Nous aurons à appliquer maintenant les méthodes données par Laplace dans la Théorie analytique des probabilités pour l'évaluation d'intégrales qui renferment des fonctions élevées à une très haute puissance.

2. Comme il s'agit simplement d'un développement suivant les puissances descendantes de n, nous pouvons négliger des quantités qui , par rapport à celles que l'on conserve, décroissent plus rapidement qu'aucune puissance négative de n. C'est pour cette raison que nous pouvons considérer, au lieu de R„, l'expression

i-Mvc-")» „,, , , /-i+Mt; «-")»

e-'i^dv,

h et k étant des quantités positives finies , d'ailleurs arbitraires ; car nous verrons bientôt que les parties négligées ainsi

ne jouent aucun rôle dans le développement que nous avons en vue.

Considérons maintenant l'intégrale

La fonction ve-" devient maximum pour v = l, et nous posons

Pour des valeurs suffisamment petites de x, on peut développer t suivant les puissances croissantes de x

et le premier terme est évidemment V2 x On pourrait exprimer Og, Og, ... d'une manière indépendante à l'aide de la série de Lagrange; mais , comme il s'agit ici simplement de calculer quelques uns des premiers coefficients, une relation récurrente semble bien préférable.

On trouve t ~j^~ = 2x(l — t), et, différentiant n fois, puis posant x = 0, ( = 0, il vient

n Oi a„ + (n — 1) Og On -1 + (" — 2) «3 «n -2 + • • • + 1 «n ai = — 2 o„ 1

En partant de a^^=V2, on en déduit a^, a^, ... et

t= \-v = V2x-lx^+^VÏa? + ^^^a^, — dv = (V2 — ix+l V2x' + xIb ^) d X,

-~~^=il-^y2x-^a^+^}^V2x^-...)^.

En observant encore que

e-'>'' = e~''e+''' = e-''[l-\-t]V2x+(T—^ri)x'^+{^t,^—lri''-]-^T])V2a?-{-...] il vient

Al, A2, Ag, . . . , étant des polynômes en t]. La limite supérieure L de l'intégrale au second membre dépend de la valeur de la quantité positive h. Nous choisissons maintenant h de manière que la série 1 + Aj a; -j- Ag a;^ -|- . . . reste convergente dans tout l'intervalle d'intégration. De cette manière , h a une valeur positive finie tout à fait indépendante de n. En y regardant de plus près , on voit même que h est une simple constante numérique, indépendante de rj aussi; car le rayon de convergence de la série e'>'=l -\-ri V2 x -j- . . . ne dépend pas de rj.

^YZ^ — e-''" dv d'une manière analogue , nous posons

et nous obtenons d'abord

/ = tti x — a^x^ -\-aQOi? — . . . , aj, «2) ''si • • • ayant les mêmes valeurs que précédemment. En achevant le calcul comme tout à l'heure, il vient

Aj, A2, ... ayant la même signification que dans la formule (4). La quantité k peut être choisie de manière que dans le second membre la limite supérieure de l'intégration est de nouveau L.

En réunissant les deux intégrales (4) et (5) , on voit se détruire les parties qui deviennent infinies pour e = 0. Après cela, on peut prendre £ = 0, et il vient

i =2e-« /'^e-"*'[Ai + A3a;2 + ABX* + ...]da;. l 0

/oo g-nx'^ dx converge vers zéro pour n-

plus rapidement qu'aucune puissance négative de n. La valeur approchée du second membre est donc