Il sera facile maintenant de traiter le cas général
Pour abréger l'écriture, nous désignerons le déterminant D ainsi
Comme nous avons déjà traité le cas
/ '" (a) = g'" (o) = h'" (a) = k"' (a) = 0 , nous pourrons supposer que l'un au moins de ces quatre nombres ne soit pas nul , soit
Poso
ns
nx)-Ç}^^^k{x)=fAx),
on aura identiquement
D = I A («). 9\ (^) . h (^), fi{x)\, et il est clair qu'on a
/l"(a) = 0, ^i"(a) = 0, M"(a) = Par conséquent, dans le cas où le déterminant
Di =
est nul , on a
lira — = lira A =: 0 ,
d'après le lemme II , ce qui est bien conforme avec la proposition générale.
Nous n'avons donc qu'à considérer le cas Dj ^0. Or, dans ce cas, l'un au moins des mineurs de Dj, qui sont les coefficients des éléments de la dernière ligne horizontale, doit être différent de zéro. Supposons que ce soit
f'x (a) g'i (a) qui n'est pas égal à zéro.
Un au moins des éléments fy{a), g^{a) doit être différent de zéro; supposons que ce soit
qui n'est pas nul.
Calculons encore les constantes
^=d:;' ^^dI' "=^^
On a maintenant identiquement \fiix), gi(x), h,(x), k(x)\=^\ri{x),9Ax),{x — af,k(x)\
+ 1 /i (as), Qi {X), h^ (X) — ^2 (« - «)'» '^ (^) 1 '
1 A (a;), ^1 (X), (X — 0)2, ;t (ic) I = -|- ! A («), {X - a), (a; — af, k (x) \
\fy{x),x — a,(x — af,k{x)\= r ! 1, x — a, (x — af, k(x)\
-\-'fi{x) — r, x — a, {X — af, k {x) \
et par des substitutions successives
■ D = T^ % r j 1, x — a, {x — af, k{.x)\
+ A T \fi^-r, x — a, {x — af, k(x)\
En divisant par A et en passant à la limite, on trouve directement les limites des rapports des déterminants au second membre par les lemmes II et III. En effet , ayant
\\, x — a, {x — af, k(x)' = \\, x, x^, k{x)\ , il vient d'abord, d'après III,
lira 1 1, X, x\ kix)\:A = y-^^^ k"' (a).
Les trois autres rapports sont nuls d'après le lemme II ; en effet on a
-gD3) = 0,
S'il») ^i(a)
^'i(«) '^IW
= Di-
- p Dg = 0.
ff"(a) /î'i'(a)-p
Il vient donc
,. D pqr ^^'^A-l!2!3
jt'" (a) --*'"(«)
Ti (a) A' (a)
ou
lira
f"'(a) g"' (a) h'" (a) kf"(a)
Notre proposition est ainsi démontrée dans toute sa généralité.
Il est clair que la condition que a n'est jamais en dehors de l'intervalle (x, t) sera toujours satisfaite si l'on suppose que l'un des nombres X, y, z, t reste constamment égal à a; les autres peuvent alors tendre vers a d'une manière quelconque.
Nous avons considéré des déterminants du quatrième degré , mais il est à peine nécessaire de dire qu'on peut énoncer un théorème analogue dans le cas d'un nombre quelconque n de fonctions n ^ 2.
5. Pour montrer une application , considérons une courbe gauche
(p(t), yj(t), xi^) étant des fonctions réelles de la variable réelle t.
Soit M un point de la courbe, correspondant à < = 'o- Nous adopterons la définition suivante du plan osculateur en M : le plan osculateur en M est la position limite (s'il y en a une) d'un plan passant par M et par deux autres points de la courbe, qui sont infiniment voisins de M.
Les deux autres points correspondant à t=:t^ et < = <2> l'équation du plan passant par les trois points est
x(to)
<p(to)
xih)
1 V(y Xik)
xitê
-x(to)'] = o.
Supposons maintenant que les trois
fonctions
soient finies et continues , ainsi que le
urs dé
rivées
et enfin que ces dernières fonctions admettent des dérivées , mais pour la valeur particulière t = <o seulement. En divisant alors par
1 tn in
et en faisant tendre t.^ et t^ vers «^ , il viendra
V' («o) X' (to)
v"(to)x"{to)
X' (to) f' (to) x"(to) 9"(to) <P' (to)v' (to) 9"(to)<P"(to) Par conséquent , si cette équation représente un plan déterminé ,
c'est à- dire si les coefficients de X, Y, Z ne s'évanouissent pas à la fois, ce plan sera d'après notre définition, le plan osculateur en M. Et l'on voit que l'existence de ce plan suppose seulement que
'P'(io + h)-<p'(g y- ((„ + /»)- y- (g j^'(t, + h)-x'(to)
tendent vers des limites déterminées pour h = 0.
C'est là un fait analogue à ce qui se présente dans la théorie des courbes planes, lorsqu'on définit la tangente en un point M comme limite d'une sécante passant par M, et par un second point de la courbe infiniment voisin de M. Alors , si l'équation de la courbe est
l'existence d'une tangente en M (a, b) suppose seulement que
a une limite déterminée, mais la fonction f(x) peut très bien ne pas admettre une dérivée pour d'autres valeurs de la variable.
Il est clair que la proposition que nous avons établie permet d'énoncer des propriétés analogues relatives à l'existence du cercle osculateur, de la sphère osculatrice , etc.
(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 7, 1888, 161 — 171.)
Note sur l'intégrale / f{x)G{x)dx.
L'objet de cette Note est la démonstration de la proposition suivante: Soit f{x) une fonction non décroissante entre les limites x = a et
X = b {a <C b). Alors il est toujours possible de déterminer n constantes
a<CXi<X2< . . .<Xn-l<Xn<b,
et w + 1 constantes a^ , a.,, . . ., Un + i qui sont comprises respectivement dans les n 4" 1 intervalles formés par les n + 2 quantités
/■(a), f(XT), f{X^), ..., f{Xn-l), f(Xn), f{b),
de telle façon qu'on ait
l f{x)Qc2n(,X)dX a
Qt2n{x) dx -\- a^ i Gs2n{x)dx
-\-% G2n{x)dx-^...
X3 rXn ,b
+ an/ Qi2n{x)dX-\-an-\.li G2n{x)dX.
Xn—\ Xh
G2n{x) étant un polynôme quelconque en x du degré 2w au plus.
1. La détermination des constantes Xk, Uk est évidemment un problème déterminé car les conditions imposées fournissent 2n-{-l relations entre ces inconnues. Pour les écrire , nous pouvons prendre
en faisant Il vient ainsi
rb
(A+1)/ {x — a)''f{x)dx
= — (ttg — «i) (Xj — a)'^+i — (ttg — a2)(a;2 — a)'^+i
Remplaçons dans cette relation k par A; + 1 et retranchons les deux équations, après avoir multiplié la première par b — a; on aura
f [(6 — a) (A + 1) - (k + 2){x — a)] {x - aff{x) dx\
= — («2 — «l) (^ — ^l) (•'i'i — «)*■'+ ^ — (ttg — Og) (6 3%) (^2 — «)* + '
(ft = 0, 1,2, ..., 2n— 1).
(a„+i — a„) (6 — x„) {x„—af+'^ Pour simplifier, nous posons
(3) (afc+i — Ofc) (6 — %) (a;^ — a) = A^ (A = 1, 2, . . ., w).
et nous remarquons que
jl{b a) (A + 1) - (â: + 2) {x - a)] {x - aff{x) dx
= {b — x){x — a)''+'f{x) —J{b — x){x — aY+^f {x) dx.
Les relations (2) peuvent donc s'écrire
i {b — x){x — a)'' + ^f'{x)dx ]
= Ai(ai — a)*4-A2(a:2— a)*+... + A„(a;„ — a)*) et il est clair par là qu'on aura
f {b — x){x — a)f' (x) G2„-i (x) dx
= AiG2n-l (aJi) + A^G2n-l (a^) + . . . + A„G2n-l(X„),
G2n-i (a;) étant un polynôme quelconque en x du degré 2« — 1 au plus.
On reconnaît maintenant que la détermination de x^, x^, . . ., a;,,, A^, A2, . . ., A„ revient à la solution d'un problème bien connu. On sait que Xj, x», . . ., Xn sont les racines de l'équation
(5) P„(a;) = a;« + Cia;"-i + . .. = 0,
P„ (rc) étant le dénominateur du degré n d'une des réduites de la fraction continue
dz
x — aç^ * 3
X — Og -
Ces racines sont réelles, inégales et comprises dans l'intervalle (a, 6), et nous pouvons supposer
a < aji < a;.2 < . . . < Xn < 6.
On connaît aussi l'expression des constantes A* qui sont positives. En posant
Q„(a;) =f{b-z) {z-a)r iz) -^^^ij- dz,
^~-— est une des réduites de la fraction continue , et l'on a P„(a;)
On peut encore se servir de la formule suivante qui n'exige pas la connaissance du numérateur Q„(a;),
(7) A,= ^oAi4^TT {k = l,2,.,.,n).
Les constantes Xk, a^ qui figurent dans la fraction continue et les polynômes Vk(x) se calculent de proche en proche par les relations
Po = l, (8) { P2 = (a;-ai)Pi — Aj,
Pfc + i = (x— at) Pa- — 4 Pa-1 ;
^Q= / (b — z){z — a)f'{z)dz
I (b-z){z-a)r{z)[Pk(s)Tdz
/ {b — z)(z — a)f'{z)[Fk-i(z)Jdz
f (b — z){z — a) f (z) z [Pa {z)Jdz
«ft
j (b — z)(z — a)f(z) \?k (z)f dz
(ft = 0, 1, 2,...).
