Supposons maintenant

a; = cos6>, 0<6><7r,

La droite D se confond avec l'axe réel; le contour abcd peut donc être tracé tout entier dans la moitié supérieure du plan ; il en sera donc de même du chemin dans l'Intégrale transformée

Pour achever le calcul de cette intégrale , nous suivons la méthode donnée par M. Hermite dans son Cours de la Sorbonne (3« édition , p. 173). En intégrant par parties n fois, il vient, en faisant attention à la formule (21),

a =: / — du

ou

r-l du /-^P"(a;) — P"(m) ,

Or, X étant réel et compris entre les limites ±1, et le chemin d'intégration étant tracé dans la moitié supérieure du plan , on a

/~i du . /l+x\ ,

'ogirÉ|)+^«

d, en effet, doit être de la forme a P"(a;) 4-/îS»(a;); on a donc nécessairement

(23) 2^i^.) = r^-^^-^S^au^

(24) ^ = 2S" (x) -{-ni F» (x)

et de même

^ = 2S"(a;) -7riP»(x).

Il est aisé de vérifier la formule (23); car on constate facilement que, P"{x) étant un polynôme quelconque en x, l'intégrale du second membre est toujours la partie entière de

12. Nous pouvons obtenir maintenant un développement en série de S'»(cos 6>) entièrement analogue au développement de P'»(cos 0). En effet , les formules (4) et (24) donnent

S«(cos 6>) = partie réelle de f »+i VY—k C ^^~"^"^- ,

; Vu{l — ku) c'est à-dire

S»(cos 0) = partie réelle de if^!f±ll' f' {l-n)-du .

K2sin0 J Vu{i — ku)' d'où l'on conclut

(25) ~ S» (cos 0) = — C„

'sin (w 0 -f ^ g) 12 8in (n 0 -f | g)

K2sïr0 "^2(2w-f3) l/(^2sln0j8

sin (w 0 -f- f a)