La même méthode s'applique à l'équation

q'*(x)-\-7iiY{x) — 0.

Dans ce cas on a sur le cercle C

Q" (a;) + 71 i F (œ) = C ic» (1 + e) ; donc la variation de l'argument sur C est

Mais il faudra prendre maintenant, en allant de — l-j-eà+l — «>

et en allant de-|-l — «à — !-}-« Y = +l^F(a;).

La variation totale de l'argument sur C devient nulle, les deux parties se détruisant ; donc l'équation

Q»(x) + 7iîF(a;) = 0 admet n racines. D'après le théorème de M. Hermite, ces n racines se trouvent au-dessous de l'axe des abscisses ; on peut retrouver ce résultat en évaluant la variation de l'argument sur le contour abcdefga (Fig. 2). La variation est

Sur abc, -\-n X n,

Sur cd, — "ô" »

Sur ef, +71 X(w + 1),

Sur ga, — y.

en sorte qu'on trouve n racines à l'intérieur du contour. Les mêmes considérations s'appliquent évidemment aux autres branches de la fonction , et l'on pourrait même déterminer le nombre des racines de

q''{x)-\-k7iiF{x) = 0 pour une valeur non entière ou même imaginaire de k.

5. La fonction Q" (as) peut s'exprimer par l'intégrale de M. Neumann

et l'on peut conclure de là, très simplement, que l'équation Q»(a;) = 0 n'a point de racine. Supposons , en effet {x n'étant pas naturellement sur la coupure) ,

on aurait aussi

f+^ F{ufdu^^ J x — u

car

/•+!„, ,F{u) — F(x), , „, , r+^F(u)du

= F (m) — ^-^ -^ du-\-F(x) / -~=-^

et dans le second membre la première intégrale s'annule en vertu des propriétés de F (m), la seconde en vertu de (3). Or, je dis que la relation (4) est impossible; soit, en effet,

x = a-\-bi,

on devrait avoir

r+l F {Uf

(o — uf + 62

(a — u — bi)du = 0.

La. partie purement imaginaire ne peut être nulle, à moins qu'on n'ait 6 = 0; mais x serait réel et, n'étant pas sur la coupure, x — m ne changerait pas de signe, et la relation (4) est encore impossible.

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 9, 1890, 479 — 480)

/co

M Méray a montré récemment (Bulletin des Sciences mathématiques, 1889) qu'on peut obtenir la valeur de cette intégrale à l'aide de la formule de Wallis. La déduction suivante se fonde sur la même idée, mais on la trouvera peut être un peu plus simple.

Soit

l„= f u''e-'*'du;

une intégration par parties donne

d'oti l'on conclut ,

l2ft — 2k ^01

L'expression

I„ + i -f 2a! In + a;2 1„ i = T «"-i (m + xfe-""' du

est évidemment positive pour toute valeur réelle de x, donc

^n <^ In-l In + l

OU, à cause de In + i^ ^ In-i,

t2 ^ ii t2

On a , par conséquent ,

c'est-à-dire

en sorte qu'on peut poser

ou, en exprimant I2A par Iq,

■^ ^" ~[l . 3 . 5 . . . (iJA — 1)]2 (2A; + ])^' ^ ''•

En faisant croître indéfiniment l'entier k, il vient, d'après la formule de Wallis,

ot2 iL T A 1/j^

(Ann. Fac. Sci. , Toulouse, 4, 1890, 1— 103.)