On peut obtenir la solution du système
âS6
encore par une autre méthode, un peu différente de celle que nous avons exposée dans le n''4, et qui conduit à un résultat dont nous aurons besoin plus loin.
Nous avons vu , dans le Chapitre II, que par une substitution linéaire de déterminant + 1 , on peut tranformer l'expression
en dix'i, di étant le plus grand commun diviseur des coefficients 01,1,
Ci,2, • • • > Ol,m + 7i-
A l'aide de cette transformation , on déduira de (1) un système équivalent dont la matrice affectera la forme
di 0
fl2,m + n
«m, 1 Om,2 • • • Om,m-{-n-
Les coefficients «2,2, «2,3, . . . , a2,m+n ne peuvent pas être tous nuls, car tous les mineurs du second degré des deux premières lignes seraient nuls; la même chose aurait lieu pour la matrice de Ui^k, ce qui est contre l'hypothèse admise. En opérant donc sur les variables x!^, a^, • • • > x'm + n, on pourra transformer encore le système de manière à obtenir un nouveau système dont la matrice affecte la forme
dz
as, 2
Mm, m ■\-n
^2 étant le p. g. c. d. de 02,2, 02,8, ••• , a2,m + n En continuant ainsi, on sera amené finalement à une matrice de la forme
dj 0 h,\ ^3,2
/îm,S
Pm, m — 1
iièè SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.
Il est clair qu'on aura d = rfi do ''s ■ • • ^m, et si les nouvelles inconnues sont î/i, ?/2) • . • , l/m+n, la solution la plus générale s'obtient en posant
tandis que ym + i,ym + 2, ■ • ■ , ^m + n peuvent prei dre toutes les valeurs entières de — œ à -[- =0 ■
On peut simplifier encore le tableau (A). En remplaçant d'abord «/g par j/2 — c2/i, il est clair qu'on peut faire en sorte que le coefficient /Î2,i devient positif, mais inférieur à d^. En remplaçant ensuite y^ par Va — ^2/2 — '^'Vi' on peut assujettir les coefficients ^a^i, ^^,2 aux limitations
Og/53,l<C/3, 0^/53,2<d8-
On voit, en définitive, qu'il existe toujours une substitution de déterminant ± 1 5 tel que le système transformé a une matrice de la forme particulière (A), où les coefficients dj, dj» , dm sont positifs et
Ogj8,-.A<d, [A;=l,2, ...,(î — 1)]
(voir Hermite , Journal de Crelle , t. 41 , p. 192). On verra facilement que cette forme réduite (A) est unique. La nature invariantive des coefficients du tableau (A) s'aperçoit aisément. D'abord il est clair que di est la plus petite valeur (sauf 0) que peut avoir l'expression
Xi, X2, . . .,Xm + n étant liés par les relations
ak,lXi -{■ ak,2X2. + . . . 4- ak,m + nXm + n=^^i
Ensuite /S2,i est la plus petite valeur que peut avoir la fonction linéaire
