ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER

1 . Les formules des Livres II et VI , relatives aux perturbations des planètes, s'appliquent également aux perturbations des satellites de Jupiter. Mais les rapports presque commensurables qui existent entre leurs moyens mouvements , et la grande ellipticité du sphéroïde de Jupiter donnent à plusieurs quantités, que nous pouvions négliger dans ces formules, des valeurs assez considérables pour y avoir égard, lorsque l'on se propose de déterminer avec précision les mouvements des satellites. Nous allons ainsi reprendre les équations différentielles de ces mouvements.

Soit m la masse du premier satellite; soient x^ y, z ses trois coordonnées rectangles rapportées au centre de gravité de Jupiter, considéré comme immobile, et r= s^x'^ -\-y^ -h z^. Marquons d'un trait, de deux traits et de trois traits les mêmes quantités relatives au second , au troisième et au quatrième satellite. Nommons encore S la masse du

Soleil , X, Y, Z ses coordonnées, et faisons D = y^X^ -h Y^ + Z'*. Enfin

soient M la masse de Jupiter, et h V la somme des molécules de cette

planète, divisées respectivement par leurs distances au centre de m. Cela posé, nommons R la fonction

n^{xx' -\-yj' -^-zz') m" [xx" -\-yy" + zz") m"'{xx"'-+- yf" + zz'") m m

\{x' - xY + (r' -rY-^[z' - zYY {[x"-xY + [f - rY -+- [^''-^YY.

m^ S(X^-f-Yr + Zzj

[{x'"- xY + [f'—rY + [z"'-zYY ^'

Cette fonction renferme toutes les forces perturbatrices du mouvement du satellite w, et l'on a vu, dans le n° 46 du Livre II, que les équations différentielles de ce mouvement dépendent de ses différences partielles.

Rapportons ses coordonnées à d'autres plus commodes pour les usages astronomiques. Nommons v l'angle compris entre l'axe des x et la projection du rayon vecteur r sur le plan des x et des y. Soit s la tangente de la latitude de m au-dessus de ce plan. On aura

rcosf rsinv rs

En marquant dans ces expressions les quantités r, s^ v successivement d'un trait, de deux traits et de trois traits, on aura les expressions de x\ y' y z'; x" , y", z"; x'" , y"\ z'". Gela posé , si l'on néglige les quantités de l'ordre s\ on trouvera , pour la partie de R relative à l'action des satellites,

^[(l-1.2^,'2)cos(.'-. ) + ..'] ""- j

[r^ — 1 rr' cos{v' — v) + r'^Y

m'rr'[ss'—^{s^^s'^) cos((^' — v)]

[/.2 ^rp' cos((^'— v) -\- r'2]^

[r2 — -îrr" cos(m"— v) -i- r"^f m"rr" \ss" ~\[s^-\- s"^ ) cos[v" — v)] [r2 — 2 rr" CCS (f"— f) + r"2]2

[|.a 2 rr'" ces [v'" —v)-{- r"'^Y m"'rr"'\ss"'— ^[s^ + sT'^) cos(t^^^'- p)]

[r2 — ^rr'" cos(/'- c) + r"'2]^

j^ MÉCANIQUE CÉLESTE.

Il est facile d'en conclure que, si l'on désigne par S' la tangente de la latitude du Soleil S au-dessus du plan fixe, et par U l'angle que la projection de D sur ce plan fait avec l'axe des ce, la partie de R relative à l'action du Soleil est, en négligeant les termes divisés par D* (ce que l'on peut faire , vu la grande distance de Jupiter au Soleil , relativement à celle du satellite à Jupiter) ,

-|-|^-J[i-352-3S'2 + i25S'cos(U-c) + 3(i-52 s'2)cos(aU-'2(^)].

Pour déterminer la partie de R relative à l'attraction du sphéroïde de Jupiter, nous observerons que cette partie est , par ce qui précède , égale à — V. Si l'on suppose ce sphéroïde elliptique, et si l'on nomme p son ellipticité; si l'on nomme encore cp le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à son équateur; B le rayon de cet équateur; v le sinus de la déclinaison du satellite m relativement au même équateur; on aura , par le n° 35 du Livre III ,

Si Jupiter n'est pas elliptique, on a, par le n° 32 du Livre III,

V=^[(l?-p)(v2-^)+A(i-v2)cos.z^],

h étant une arbitraire dépendante de la figure de Jupiter, et u étant l'angle formé par l'un des deux axes principaux de Jupiter, situés dans le plan de son équateur, avec le méridien de Jupiter qui passe par le centre du satellite. Il est facile de se convaincre , par l'analyse suivante, que le terme dépendant de cos2ct n'a aucune influence sensible sur le mouvement du satellite, à cause de la rapidité avec laquelle l'angle ts varie; en sorte que la valeur de V que l'on doit employer ici est la même que dans l'hypothèse d'un sphéroïde elliptique dont l'ellipticité est p. Nous supposerons donc

MB2

On a, à très-peu près, \ = s — s,, s^ exprimant la tangente de la latitude du satellite m au-dessus du plan fixe , en le supposant mû dans le plan de l'équateur de Jupiter; on a donc, pour la partie — V de l'expression de R,