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__Vz.-(p-l9)[l-(.-5,)2]

2. Rappelons maintenant les équations différentielles du mouvement d'un corps sollicité par des forces quelconques. Parmi les diverses formes que nous leur avons données dans les Livres précédents , nous choisirons celles qui conduisent de la manière la plus simple aux résultats que nous voulons obtenir. On a, par le n° 46 du Livre II,

I k\ i d^.r^ u. u. „, dR

A o = :j- i- + ^ +2/dR + r-r-,

^ ' 1 dt^ r a '^ dr ^

c?« est l'élément du temps, et cet élément est supposé constant; [7, est égal à la somme M -\- m des masses de Jupiter et du satellite m; la dif-

n, .. ,, dR ^ , , , <?R dK ^R ,

terence partielle r-^- est égaie a x-^ ^^'â — ^^TT"' '^ caractéristique différentielle d se rapporte aux seules coordonnées de m. Si l'on désigne par ?) la variation due aux forces perturbatrices , on aura , en différentiant l'équation précédente par rapport à S ,

On déterminera par cette équation différentielle les perturbations du rayon vecteur; on pourra même comprendre dans son intégrale l'excentricité de l'orbite du satellite; car, vu l'extrême petitesse de cette excentricité , on peut négliger son carré et ses puissances supérieures , et l'on peut supposer que la variation 2r^r renferme, non-seulement

les inégalités dues aux perturbations, mais encore la partie elliptique de r^.

Si l'on nomme dv, l'angle intercepté entre les deux rayons vecteurs r

et r -H dry on aura , par le n° 46 du Livre II ,

— ^^ — ~—j- \ ffn c?/dR H fndt r^-

a^ndt [x '^'^ IX ^ or

a étant le demi-grand axe de l'orbe du satellite , e étant le rapport de l'excentricité au demi-grand axe, et nt étant le moyen mouvement du satellite.

En nommant v l'angle décrit par la projection du rayon vecteur r sur le plan fixe , on a , par le même numéro ,

ds^ ...Ta dv = dv,

s étant la tangente de la latitude de m au-dessus du plan fixe ; en sorte que, si l'on néglige le carré de *, on a

dv = èv,.

Pour déterminer s, nous observerons que l'on a, par le n° 15 du Livre II , dç étant supposé constant ,

(d^s \ ( 1 fdR dv\

I ds ôR s ôR n-s2 ^'R

h^u^ dv dv h^u du li^u'^ as

- étant la projection du rayon vecteur r sur le plan fixe; h^ étant une constante qui, dans l'orbite elliptique, est, par le n° 20 du Livre II,

A'Tt

égale à y.a{i — e^); enfin, la différence partielle -r- étant relative au cas où l'on considère R comme fonction de m , v et s. Considérons R comme fonction de r, v ets, ainsi que nous l'avons fait dans le numéro précédent; nous aurons

. dR , (?'R . dR , dR du -z — h ds -3— = dr-^ + ds -^ou as or as

r étant e^al a 5 on a

, dr j- sds

du= \/i-{-s^ -{-

on a donc, en comparant séparément, dans l'équation précédente, les

coefficients de ds,

us dR d'K dR