DES INÉGALITÉS DEPENDANTES DU CARRE DE LA FORCE PERTURBATRICE
14. Nous avons déjà considéré, dans le Chapitre VIII du Livre II, la plus remarquable de ces inégalités. Elle dépend, comme on l'a vu, de ce que, dans l'origine, la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , a très-peu différé de la demi-circonférence, et alors l'attraction mutuelle de ces trois satellites a suffi pour faire disparaître cette différence. Nous allons reprendre ici cette théorie délicate par une autre méthode, lui donner plus de développement, et déterminer son influence sur les diverses inégalités de ces satellites.
Si l'on considère les orbites comme des ellipses variables, ^ représentant la longitude moyenne du satellite m, on a, par le n'^6b du Livre II,
, d-Ç = 3andtdR.
Ne considérons, dans l'expression du mouvement des satellites, que les termes dépendants de l'angle nt — 3n't-+- in"l 4- e — 3 s' -h 2e", et qui ont pour diviseur [n — 3/i'-f- 2n")^, l'extrême petitesse de ce diviseur pouvant les rendre sensibles. Il est clair que, 3«wû?/dR renfermant des termes dépendants de l'angle dont il s'agit, ces termes acquièrent, par la double intégration, ce diviseur. Mais ils ne peuvent être introduits dans V que par l'expression de ^; car il est facile de s'assurer, par l'inspection des valeurs de de, dxs, dt, dé, ..., données dans le Chapitre III du Livre II, qu'elles ne peuvent produire dans v de semblables termes, du moins si l'on n'a égard qu'au carré de la force perturbatrice.
En ne considérant donc que les termes qui doivent par les intégrations acquérir ce diviseur, on aura
d'-v = 3andtdR.
On aura pareillement
d^v' =^3a'n' dtd'W,
d-'v"=3a"n"dtd"W',
R' et R" étant ce que devient R relativement aux satellites m' et m", et les caractéristiques d, d', d" se rapportant respectivement aux coordonnées de m, m', m". Il faut maintenant déterminer les termes de dR, d'R', d"R" qui dépendent de l'angle ni — 3n't -h 2n"t-{- t — 3e'+ 2t".
Les expressions de R, R', R" ne renferment point d'angles dépendants de ç — 3p'+ 2ç"; elles ne donnent, par leur développement, que des termes dépendants des rayons vecteurs, des latitudes, des élongations i> — v', V — v" , v' — v" des satellites, et des multiples de ces élongations. Mais en y substituant, au lieu de r, v, r', v' , . . . , les parties de leurs valeurs dépendantes des forces perturbatrices, il peut en résulter, dans dR, d'R', d"R", des termes de l'ordre du carré des forces perturbatrices , et dépendants de l'angle nt — 3/^7 -\- in"t -\- z — 3 s' H- -iz". Nous avons déterminé précédemment les perturbations de r, v, r' , v' , r", v", et nous avons vu, dans le n° 4, que les principales inégalités de r et àev, dues aux forces perturbatrices, dépendent de l'angle int — irf!t, que celles de r' et de (^'dépendent des deux angles nt — n!teX in't— in!'t, enfin que celles de r" et de v" dépendent de l'angle n!t — n"t. Ces inégalités acquièrent, par les intégrations, de très-petits diviseurs, qui les rendent beaucoup plus grandes que les autres inégalités, en sorte que l'on peut ne considérer qu'elles dans la question présente. Quelquesuns des arguments de ces inégalités, en se combinant avec les élongations des satellites et leurs multiples, par addition ou par soustraction, peuvent former l'angle nt — "in't ■+- 2n"t. Les arguments 2nt — 2n't et nt — n"t ne peuvent visiblement le former par leur combinaison avec les angles {' — {>',{' — v" , v' — v" et leurs multiples, en y changeant v, v\ v'\ dans nt -+- e, n't H- t' , n"t + e"; ainsi, dans les expressions de dR,
d'R', d"R", on peut se dispenser de considérer les perturbations des satellites m et w!'\ il suffit d'avoir égard à celles du satellite m'. Son inégalité relative à l'angle ir}!t— 2n"t, en se combinant par voie de soustraction avec l'angle v — v\ et son inégalité relative à l'angle nt— n't, en se combinant de la même manière avec l'angle iv' — W, produisent des termes dépendants de l'angle
nt — 3 n't + 2n'7 + £ — Se'H- -îî".
Considérons le terme m'A^'^cos(t' — ç»') de l'expression de R. En n'ayant égard qu'à ce terme, on a
dR = — /n'A< *^dvsm{v — v') -{- m' —^ — dr ces [v — v'].
Si l'on néglige les perturbations de m et les excentricités des orbites, on 2i dr = o et dç = ndt , partant,
dR= — m'A(*^ndtsm{v — v'),
ce qui donne, dans dR, les termes de l'ordre du carré des forces perturbatrices,
m' A(*^ ndt èv' cos{v — v' ) — m' -^^ ndtèr'sm{v — v').
On a, par le n° 4, en ne considérant que les perturbations dépendantes de l'angle 2n'e — 2n"t,
àr' n'm"¥' , ,, ,. , „,
—r = j ; ,y z^rrrCOSlin t — "i n t + 2 £ — 2 £ ,
a 2(2/1'— an"— N') ^ '
Ôf'= ; 7, ^ Sln(2/l'/ — 2/1"/ -4- 2£'— 2£"].
En substituant ces valeurs dans les termes précédents, en ne conservant que les termes dépendants de nt — ?>n't -\- 7.n"t, et observant que n est à fort peu près égal à 2/1', on aura
3 n' m'm" ^ F ( 2 a' AC) a'2 ^1^ j
3a/iû?;dR = ^, — .-^ . — ^^^ ^ df^sm{nt—?>n't-h'în"t + z — 3z'-\-it")
On a à très-peu près, par le n'' 4,
G = 2a'Af''-a'2
da'
de plus, 2n' — in" est égal à tï — w', du moins à très-peu près, en sorte que leur différence est jusqu'à présent insensible; on aura donc, en changeant nt + z, n't-{- t', n"t + e" respectivement dans v, v\ v", ce que l'on peut faire ici, et en substituant d'^v au lieu de 3«w6//dR,
La partie de R relative à l'action de m" sur m ne renfermant que des termes dépendants de l'angle v — v" et de ses multiples, elle n'ajoute
aucun terme à cette valeur de -j-^ •
Considérons présentement le terme mAy'cos(ç^ — v') de la partie de l'expression de R' qui dépend de l'action de m sur m\ comme on l'a vu dans le n^ 4. En n'ayant égard qu'à ce terme, on a
(?A'*' d'R'— mk.\*^dv'sm[v — v') + mdr' -v-V 008(4/— v').
Cette fonction développée renferme la suivante
<?A'" m\.\^^dèv' . sm[v— v')-\-mdàr' ~j- q,os[v—v')
--mk\^^n'dtàv' cosiv — v') + m -;-^ n' dt àr' sini v — v'].
En substituant pour V et V leurs valeurs précédentes, et observant
que n" = ^n', à fort peu près, et que l'on a, par le n° 4, d'une manière
fort approchée ,
G = -2û'AV'-a'2^V, da'
on aura
^a'n'dtû'^'=-^, — — -sin ('— ^v'+iv").
On peut observer ici, en comparant les deux expressions précédentes de "dandtàR et de 3a'n'dt(\'W, que l'on a
o=:mdR + m'd'R',
ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le n° 65 du Livre IL La partie de R' relative à l'action de m" sur m' renferme -le terme m"A'^'^' cos,(2v' — 2ç"). En n'ayant égard qu'à ce terme, on a
(l'R'= - im"\'^^^dv'sin{'iv'— o.v") -i- ni"dr' ^— cos(2t''- -iv").
Celte fonction développée renferme la suivante
- ■îm"A'(^^dèv' . sin('2f'— 2(/') — 4m''A'i2)n'J/ôi''cos('2t''- -iv")
- 1 m'n'dt ôr ' ^^^^ sin ( -2 c' - 2 v" ] -4- m" d èr' ^,- cos liv'-i v" ] .
On a, par le n*' 4, en ne considérant que l'action du satellite m sur m\
—r = 1 ) — sjn ces «< — n't-\-t — e' ,
a i.[n, — n — IN ) ^
èv* =z ; — sin nf — n7 + e — e .
En observant donc que n = 2/1' à fort peu près, et que l'on a, par le n** 4, l'équation très-approchée
on aura
:ia'n'dtd'K'= , ^,"^"^"''!'^^lr„ FGsin(t' - 3i>' -+- o.^,"), 32(n — n— N) ^ '
En réunissant ces deux valeurs de 'ia'n'dtd'W, on aura
dt^ 32(n — n'— N') ^ '
Il nous reste à considérer la valeur de d"R". Le terme de R" dépen-
dant de 2 ç^' ~ 2 (^" est , par ce qui précède , égal à m'A'^^^ cos {2v' — 2ç"); en n'ayant donc égard qu'à ce terme, on aura
d" R" = 2 m'A'Wdv" sm{iv'—i v" ) + m'dr" ^^-^ cos[iv' - i v" ) .
Cette fonction renferme la suivante
l^m' k'^'^)n"dtàv' cos[iv' — IV") + im'n"dtèr' ^^^ sm[iv' - iv").
En substituant, pour W et tr', les parties de leurs valeurs qui dépendent de l'angle nt — n't, et observant que n'={n, et n" = ^n à fort peu près, on aura
3a"n"dt d"K"= — j.-,-, ; ^rrr -7 sm (^ — 3v -i-iv"),
d'où il est facile de conclure qu'en n'ayant égard qu'à l'action réciproque de m' et m'\ on a
o = m'd'R'+mM"R",
ce qui est conforme au n° 65 du Livre II. On a donc
d^i>" 3n^mm'FG a" . ,
dt^ 64(« — « — N J « ^ '
Soit
3nFG /« , „ 3 „ a" A ; ^n^ \ — mm'+\ mm" + -j-j mm ,
et nommons 9 l'angle v — "dv'-h iv"; on aura, en réunissant les valeurs
^^5p' --^dt^^^-dF-'
-^3=3/fn2sin(p.
15. On peut supposer, dans cette équation, k et n^ constants, parce que leurs variations sont très-petites; son intégrale donne alors
dt =
ddf
V^c — ikn^ coscp
OEuvres de L. — \\.
c étant une constante arbitraire, dont la valeur peut donner lieu aux trois cas suivants :
[° Cette constante peut surpasser 2kTÎ^, abstraction faite du signe; alors elle est nécessairement positive : l'angle zt <p croissant indéfiniment, il devient égal à une, deux, trois, . . . circonférences.
2** La constante c peut être moindre, abstraction faite du signe, que 2^«^, k étant positif. Dans ce cas, le radical v/c — 2X:n^cos(p devient imaginaire, lorsque ±9 est égal à zéro, ou à une, deux, ... circonférences; l'angle 9 ne peut donc alors qu'osciller autour de la demi-circonférence à laquelle sa valeur moyenne est égale.
3° La constante c peut être moindre, abstraction faite du signe, que 2kn^, k étant négatif. Dans ce cas le radical ^c — s^w^coscp devient imaginaire, lorsque ± 9 est égal à un nombre impair de demi-circonférences; l'angle 9 ne peut donc alors qu'osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle.
Le cas de l'égalité entre c et =i= 2kn^ peut être censé compris dans les précédents; il est d'ailleurs infiniment peu probable. Voyons lequel de ces différents cas a lieu dans la nature.
Nous verrons dans la suite que k est une quantité positive; ainsi le troisième cas n'existe point, et l'angle ± 9 doit ou croître indéfiniment, ou osciller autour de la demi-circonférence. Supposons
9 = TT ±: CJ,
X étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité; nous aurons
dt = ~ '^^
Si les angles ± 9 et or croissent indéfiniment, c est positif et plus grand que 2kn}\ on a donc, dans l'intervalle compris depuis tj = o jusqu'à
CI égal au quart de la circonférence, dt<^ — ^j et par conséquent
nsjik
t<i — P=; ainsi le temps t que l'angle cj emploierait à parvenir au n ^ik
quart de la circonférence serait moindre que =• Nous verrons
2/1 y^^/lr
ci-après que ce temps est au-dessous de deux années; or, depuis la découverte des satellites, l'angle vs a toujours paru nul, ou du moins trèspetit; il ne croît donc point indéfiniment, et il ne peut qu'osciller autour de zéro, en sorte que sa valeur moyenne est nulle. C'est ce que l'observation confirme , et en cela elle fournit une preuve nouvelle et remarquable de l'attraction mutuelle des satellites de Jupiter.
De là résultent plusieurs conséquences importantes. L'équation ç — ^v' -^ 2ç" = % -{- vs donne, en égalant séparément à zéro les quantités qui ne sont pas périodiques,
nt ~ 3n't -^ '2.n"t -h t — 3 e' + oi e" = tt,
d'où l'on tire n — 'dn'-^2n"=o. Ainsi, i° le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est rigoureusement égal au triple de celui du second satellite; 2° la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constamment égale à la demi-circonférence. Le même résultat a lieu relativement aux longitudes moyennes synodiques; car on peut, dans l'équation
rapporter les angles à un axe mobile suivant une loi quelconque, puisque la position de cet axe disparaît dans cette équation; on peut donc y supposer que nt -f- e, n't + t\ n"t 4- 1" expriment des longitudes moyennes synodiques.
De là il suit que les trois premiers satellites ne peuvent jamais être éclipsés à la fois. En effet, nt-\-t, n't + i.', n"t-{-t" étant supposés exprimer des longitudes moyennes synodiques, on a, dans les éclipses simultanées du premier et du second satellite, nt-\-z et n't -v- z' égaux à tt; l'équation précédente donne donc
ainsi la longitude moyenne du troisième satellite est alors égale à |7v.
Dans les éclipses simultanées du premier et du troisième, nt + i Qi n"t -+- 1" sont égaux à x, ce qui donne
3n7 4- 3e'=: lu;
ainsi la longitude moyenne synodique du second satellite est alors f tu. Enfin, dans les éclipses simultanées du second et du troisième satellite, n't + t et n"t H- s" sont égaux à x, ce qui donne
La longitude moyenne synodique du premier satellite est donc nulle alors, et, au lieu d'être éclipsé, il peut produire sur Jupiter une éclipse de Soleil.
On a vu, dans le n** 4, que les deux principales inégalités du second satellite, produites par les actions du premier et du troisième, se réunissent, en vertu des théorèmes précédents, dans un seul terme qui forme la grande inégalité que les observations ont indiquée dans le mouvement du second satellite; ces inégalités seront donc constamment réunies, et il n'est point à craindre que dans la suite des siècles elles se séparent.
Sans l'action mutuelle des satellites, les deux équations
e — 3 e' -h le" = tt
n'auraient aucune liaison entre elles ; il faudrait supposer d'ailleurs qu'à l'origine les époques et les moyens mouvements des satellites ont été ordonnés de manière à satisfaire à ces équations, ce qui est infiniment peu vraisemblable; et dans ce cas même, la force la plus légère, telle que l'attraction des planètes et des comètes, aurait fini par changer ces rapports. Mais l'action réciproque des satellites fait disparaître ces invraisemblances et donne de la stabilité aux rapports précédents. En efi'et, on a, par ce qui précède, à l'origine du mouvement.
—T. -7- H jt = d= i/-- — ?,/f CCS e — 3e'
ndt ndt ndt y n-* ^
c étant moindre que ^kn^\ il suffit donc, pour l'exactitude des théo-
, ,j . ,,,,.. , ^ . dv 3dv' idv" . ;,, remes précédents, qu a 1 origine la fonction — -r -jj H -rr ait ete
comprise entre les limites
H- '2y/Â-sin(ie — fe'H- z"), — 2y/A-sin(^e — |e' + z")\
et, pour la stabilité de ces théorèmes, il suffit que les attractions étrangères laissent toujours la fonction précédente dans ces limites.
Les observations nous apprennent que l'angle w est très -petit, et qu'ainsi l'on peut supposer cosct = i — {cj^ ; soit donc
c + 1 kn"^
ê étant une arbitraire , à cause de l'arbitraire c qu'il renferme ; l'équation différentielle entre cy et f donnera
GT = ê sin ( «/ y//f -f- a) ,
A étant une nouvelle arbitraire.
Le mouvement des quatre satellites de Jupiter étant déterminé par douze équations différentielles du second ordre, leur théorie doit renfermer vingt-quatre constantes arbitraires : quatre de ces constantes sont relatives aux moyens mouvements des satellites, ou, ce qui revient au même, à leurs moyennes distances; quatre sont relatives aux époques des longitudes moyennes; huit dépendent des excentricités et des aphélies, et huit autres dépendent des inclinaisons et des nœuds des orbites. Les théorèmes précédents établissent deux relations entre les moyens mouvements et les époques des longitudes moyennes des trois premiers satellites, ce qui réduit à vingt-deux ces vingt-quatre arbitraires. C'est pour y suppléer que l'expression de rs renferme les deux nouvelles arbitraires ê et A.
Si l'on reprend la valeur précédente de ^-^5 en y substituant TC -\-ÇiS\n{nt\fk -f- A) au lieu de v — ?tv' -{- iv", on aura d^v 3n'>m'm"F'G a ^ . , .y ,\
ce qui donne, en intégrant et négligeant les constantes arbitraires qui font partie de l'époque et de la longitude moyenne,
3/i3m'm"FG
T\ ~Ss'm{nt\/k -h a),
~ 8n^k{n — n'~^\ et par conséquent, en substituant pour k sa valeur, on a
B sm{nt ^k -h a)
On trouvera pareillement
— 7 -. B s\n(nt Jk -k- k)
qa m a m I -f- ^ r + 7 7/
dm
8am
^êsin(n/v^/f H- a)
qa m dm
^am' ^am"
Les trois premiers satellites sont donc assujettis à une inégalité dépendante de l'angle ntsJk-^-k. Les observations seules peuvent fixer son étendue, qui dépend de l'arbitraire ê, et l'instant où elle est nulle, qui dépend de l'arbitraire A. Cette inégalité mérite une attention particulière de la part des astronomes : on peut la considérer comme une libration des mouvements moyens des trois premiers satellites, en vertu de laquelle la différence des deux premiers, moins le double de la différence du second et du troisième, oscille sans cesse autour de la demicirconférence ; par cette raison, nous désignerons cette inégalité sous le nom de libration des satellites de Jupiter. Elle a beaucoup d'analogie avec la libration du sphéroïde lunaire, dont nous avons donné l'analyse dans le Chapitre ÏI du Livre V : elle remplace, comme elle, deux arbitraires des longitudes moyennes; elle est encore insensible comme elle, ce qui tient aux circonstances particulières des mouvements primitifs des satellites.
Les rayons vecteurs des trois satellites sont assujettis à la même iné-
galité. En effet, elle produit, dans l'expression du moyen mouvement
Jndt, l'inégalité
gsin(/zfv/Â^ + a) qa' m a" m
^am' [\am" ce qui donne dans n^ considéré comme variable, l'inégalité
;i ê V'^ ces ( «/ V'Â- H- A )
qa /w dm
4«w' [\am"
En désignant cette inégalité par %n, et observant que a = n % on aura
c'est la variation du rayon vecteur r, dépendante de l'inégalité précédente. On obtiendra de la même manière les variations correspondantes de r' et r" .
i6. La libration des trois premiers satellites de Jupiter modifie toutes leurs inégalités à longues périodes : elle donne à leurs expressions une forme particulière qui les lie entre elles, et qui est un cas très-singulier de l'analyse des perturbations. Supposons que };sin(ïV -t-o) soit une inégalité à longue période du satellite m, qui aurait lieu, si elle n'était pas modifiée par l'action des deux autres satellites. Soient Vsin(iV + 6) et V'sin(ïVH-o) les inégalités correspondantes des satellites tti' et w"; on aura, en n'ayant égard qu'à ces inégalités;
-^=.-in sm{it + o], d^ v"
Mais on a, par ce qui précède, en ne considérant que l'inégalité de la
libration ,
d'^v kn^ sin ( t^ — 3 f' H^ -2 /') dt^ ~~ qa'm a" m
En réunissant ces deux valeurs de ^-^^ on aura
d^ V kn"^ siniv — 3v' -h -iv") .„ . . , .
znT= — 7> ' — i^lsm[it-i-o].
dt^ qa m a m ^ '
4a/n' ^am"
Soient donc Qsin(îV + o), Q'sin(«V -h o) et Q"sin(ï^ + o) les inégalités de V, v' et ^', dépendantes de it -\- o, et modifiées par l'action réciproque des satellites. En supposant v — 3v' -h iv" égal à
TT + (Q - 3Q' + 2Q") sin(i7 + o) ,,
dt^ I qam a!' m j ^ '
L [\fam' \am" J
d'où l'on tire, en substituant Qsin(i7H-o) pour v dans le premier membre de cette équation,
.„ / qa'm a" m \
\ ^am i\am ) «
On trouvera de la même manière
\ [\am [\am )
^./r«MQ-3Q'+^Q":
\ l^am! ^am" J Ces trois équations donnent
par conséquent,
X H 4 -, '— — ■- sm ii + o,
X' ^ -, j, — - U\n[it + o ,
'àm.iit -\- o .
On doit faire ici une remarque importante. L'analyse précédente suppose i beaucoup plus petit que n — 2n' ou n' — :in". En effet, pour pouvoir changer, comme nous l'avons fait dans le n° 14, nt h- z, n't -\- z\ n"t + t" respectivement en v, v'y v" dans l'angle
nf — 3 /i7 H- 2 w"; + £ — 3 e' + 2 e",
il faut que le même changement soit permis dans les expressions de
—nr- et de V dont nous avons fait usa^e dans le numéro cité. Ces ex-
pressions dépendent des angles
nt — n't-he — e' et •i.n't — 'în"t-hie' — ie".
r'or' Considérons d'abord la partie de — 7^ dépendante de l'angle
nt — n't H- e — e'.
On a, par le n*^ 3, en n'ayant égard qu'aux termes dépendants de
cos((^ — v'),
P étant un coefficient constant. Si l'on substitue pour v
nt-\- e + Qsin(?7 H- o),
et pour v'
n't-{- s' -\-Q'sm[it -ho)y
Œuvres de L. — IV. lO
on aura, en développant cos(ç' — v') en série,
PfO'— 0)
H ^— ^^ CCS int — n' t -h e — s' — it — o)
^-^ ^^ cosint — n t + e — t -\- it -h o),
d'où l'on tire, en intégrant, et observant que « et n — in! sont trèspetits par rapport à n, et que N' diffère très-peu de «',
