CHAPITRE V
DES INÉGALITÉS DÉPENDANTES DES CARRÉS ET DES PRODUITS DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS DES ORBITES.
12. Il suffit, dans le calcul de ces inégalités, d'avoir égard aux inégalités séculaires analogues à celles que nous avons déterminées pour les planètes, dans le n° 5 du Livre VI. Il résulte de ce numéro que, si l'on n'a égard qu'à l'action de m' sur m, la partie de anR dépendante des seules inégalités séculaires est
— i(o, i)(e2 + e'2) +|o, 1 \ee'cos{îis'—Ts)
y, et y, étant les inclinaisons des orbites de m et de m' sur le plan fixe , 7, et 7', étant les longitudes de leurs nœuds ascendants sur ce plan.
La partie de anR dépendante de l'action du Soleil et relative aux inégalités séculaires est, par le n** 1,
— ^"ôJ[e2-|-H2-y2^2y<ycos(7, -7)-y2],
Enfin, la partie de «wR dépendante de l'ellipticité du sphéroïde de Jupiter est, par le même numéro.
On aura donc
andR =— die cossj]
[(o) + [oJ + (o, i) + (o, 2) -I- (o, 3)]e C0SC7
— I o, i| e' cos m' — |o, 2} e" cos cj" — |o,3| e'" cos ro'"
</(e sinsj]
[(o)4-| o 1+ (0,1) + (0,2)4- (o,3)]esincT j
— |o, 1 1 e' sin ci' — |o,2| e" sin zd" — |o, 3| e'" sin ro'" )
r,À [(o) + CHI + l*'' i) + (o, 2) + (o, 3)] y, cos7, )
-rf(y, cos7,)< ^ -" ^
( + (o) ô cos ¥- I o I y cos7 - (o, i ) y\ cosT, - (o, 2) y'\ cos7'; - (o, 3) y'; cos7'; )
,, . „ ,([(o) + lIZ!]+(o,0 + (o,'2) + {o,3)]y, sin7, )
-d[yi sin?,) < -• L
( -[o)B sin ^ - i o I y sin7 - (o, i ) y\ sinT, -^(o, 2) y\ sin7'; - (o, 3) y"[ sml'l )
On a, par le n° 6,
e sinnj= — A sin(g^/ + T) — . . ,, ecosGT= — Acos{g-/ + r) — . . .;
les équations entre h, h', ... du numéro cité donneront ainsi les suivantes
rf(esincy) r, , 1 1 n
dT" = L(°) + L°II + (o, i) + (o, 2) + (o, 3)] e coscT
— |o> I I e' coscï' — |o, 'i| e"cosGj" — |o, 3| e'" coscj"',
rf(eCOSGj) r, , T
-— ^ — =-[(o) + | o |+(o, i)-f- (0,2)4- (o,3)JesincT 4- |o, i| e' sin m' 4- |o,2| e" sin ns" 4- [^73] e'" sin 1!:"'.
On a ensuite
5— y, sm[v —7,).
En comparant cette équation à celle-ci ,
jt-- /sin(('4-/?/ 4- A) 4- /, sin(i' +/), / 4- A,) 4-. . .,
on a
yi sin7, = — / sin (/>/-+- A) —.. ., yi cos7, = /cos(;7/4- A) 4-
Les équations entre /, /', ... du n^ 9 donneront donc les suivantes
- (o) Q cosy+r5~]ycos7 + (o, i)y\ cos1\ + (o, -2)/, cos7'; + (o, 3)/;cos77,
^All^hl = [(o) + [V] + (o, i) + (o, 2) + (o, 3)]y, sin7,
- (o) 0 sin ¥ - [^ y sin7 - ( o, i ) /^ sin7', -(0,2)/; sin7'; - ( o, 3 ) /; sin7';'.
En substituant ces valeurs de d{esmu), </(ecoscy), d(ri sml^), û?(y, cos7<) dans l'expression précédente de a/idR, on trouve qu'elle se réduit à zéro.
Reprenons maintenant l'équation (2) du n° 2, ou plutôt sa différentielle , d'où nous l'avons tirée dans le n° 46 du Livre II ,
d{irdèr -{- drdr) San „ -lan dK
dt ~ y/i — e2
On peut ici faire abstraction du diviseur sji ~ e^, et le supposer égal à l'unité. A la vérité, si le numérateur renfermait une constante g,
elle produirait dans --— le terme |^e^, à raison de ce diviseur développé en série, et il serait nécessaire de conserver ce terme. Mais la constante g produirait dans '%v^ le terme gt, et alors nt ne serait plus le moyen mouvement de m, ce qui est contraire à nos suppositions; il faut donc que la constante g soit nulle, ce que l'on peut toujours faire, en ajoutant une constante convenable à l'intégrale /dR.
Si l'on n'a égard qu'aux inégalités séculaires de e et de ct, on a
Vde I . dm . , ^ ,1
dr= — at -,- cos(nf H- e — gj) + e -7- è\x\[nt + e — gt) ,
ce qui donne , en ne conservant que les termes multipliés par t sans sinus et cosinus de nt, et négligeant les différences -r-^ et -j-^-, qui sont
incomparablement plus petites que jt ^t ^5
o-rdàr-h dràr , f diesmjs) . diecosvs]
e C0S5I — ^^ — r. — — ^ sincT
En différentiant, et négligeant les différences et les produits des quan-
, ., , de , dm tites -jt et -j- ? on aura dt dt
diirdôr-h drôr) .F cf esincs) . die cosrn]
a^ndt^ M dt dt
En substituant, au lieu de ^^!^^ et de ^^ , ^ > leurs valeurs précédentes, on aura
dl'irddr-^ dràr) . r, , , . , . , ■, , '>\1 •>
— ^ |o7T] ee' ces (cj' — gt) — ^ |o, -2 | ee" ces (cd"— cj) — ^ |o, 3| ee'" ces (gj'"— cj).
Le terme /dR est nul, par ce qui précède; il résulte du n° 5 du Livre VI qu'en ne considérant que l'action de m' sur m, et faisant [x = i ,
la partie constante de ^ T~' ^^^ ^^^ multipliée par les carrés et les
produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, est égale à
^nt'n{e^ + e'^]{a^-^-^.a^-^^W-^^) -m'/iee'cos(Gj'-GT)(^aa3-^— + >* ~d;^j
L'action des satellites m" et m"' produit des termes analogues. L'ac-
lan dR
tion du Soleil produit dans ~—r j- le terme
2[V][e2 + H2 — y? + '2y,ycos(7<-7) -y»].
:x rt/i <?R
Enfin, la partie de -77- ''3-' dépendante de l'ellipticité de Jupiter,
produit le terme
3{o)[e^ - 9^ - i9y, cos{Y -hli) - yU;
on aura donc ainsi l'expression de —j~- Pour avoir celle de -j-^ ou, ce qui revient au même, de la projection de d'^^'^ sur le plan fixe, divisée par dt, il faut, par le n'' 5 du Livre VI, ajouter à -^ la quantité
^U' ^°'^' — m ^' ^'"^' — Tt — j '
ou
- l[{o) + [XI + (o, i) + (o, ■.) + (o, 3)]y?
-A(o)ey^cos(¥+70 + i[^yy,cos(7, -7)+i(o, i)y,/,cos(-7,-7,)
+ i(o,2)y<y';cos(7, -7';)-hKo,3)y,y7cos{7^-7';).
En rassemblant ensuite tous les termes de —tt^ et intégrant, on aura l'équation séculaire du satellite m. On doit observer ici que
«2=:: (ecosnrj^-f- (esincT)2, ee'cos{m'— gt) = e cosnî.e'cosiJj'+ e sincj.e'sincj'.
Par ce qui précède, esincr est égal à la somme des termes
— h sin [g-t + r) — hi s'm{git-[-Ti) —. . ., et ecostj est égal à la somme correspondante
— /icos{gt -^T) — h,cos{g'it -i-Ti) —
e'sincy', e'costïï', ... sont les sommes de termes semblables; on aura
ainsi, dans l'expression de -^j i*' des termes constants, 2° des termes
multipliés par les cosinus de 2^i+2r, 2g^t+2T^, {g—gt)t-{-T — Ti, .... On pourra négliger les termes constants, parce que, les termes qui en résultent après l'intégration étant proportionnels au temps, ils se confondent avec le moyen mouvement de m. On doit appliquer les mêmes considérations aux termes dépendants des inclinaisons des orbites.
13. Les termes les plus considérables de l'expression de l'équation séculaire de m sont relatifs aux variations séculaires de l'équateur et de l'orbite de Jupiter; ils sont analogues à ceux d'où résulte l'équation séculaire de la Lune, que nous avons développée dans le Livre VIL Pour
les obtenir, il faut substituer, dans l'expression précédente de --^? les
valeurs de ysin?, ycos?, W, 6, Y^sin7^, ..., trouvées dans le n° 10. On aura ainsi, en négligeant les termes constants, et supposant que l'excentricité H de l'orbite de Jupiter, développée en série, est égale à H, -t- ci + . . . , H, étant la valeur de H à l'origine du temps /,
H- (i - X)X[(o) + [T;] + (o, i) + (o, 2) + (o, 3)] JL6/
- ^X(o) JL6/ - ^(i - X) [oJ JL6f
+ A{o, i)[(X-i)X' + (V-i)X]JL6/ ^'î(o>2)[{X-i)X"H-(X"-i)X].'L6/ + ^(o,3)[(X-i)r+(r-i)X]JL6/-4[inH.c/,
d'où il est facile de conclure, au moyen des équations entre X, X', X", X'", données dans le n° 10,
^ = 4(i-X)2[T] JL6/-6(o)X2JL6/-4[T]H,c^
ce qui produit, dans %v ou dans le mouvement du satellite m, l'équation séculaire
Nous observerons ici que, relativement aux trois premiers satellites, les rapports qui existent entre leurs moyens mouvements changent considérablement leurs inégalités séculaires, comme on le verra dans la suite. Lorsqu'il n'y a qu'un satellite, on a, par le n° 10,
Dans la théorie de la Lune, | o | est incomparablement plus grand que (o); on a ainsi, à très-peu près.
en sorte que 1 diffère très-peu de l'unité, ce qui réduit l'expression
précédente de l'équation séculaire au seul terme —2 o H,c^^. En
substituant y — au lieu de o , elle devient R.ct'^, ce qui
4 n 1 1 in ^
s'accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n*' 23 du Livre VII.
Après les termes que nous venons de considérer et qui doivent à la longue devenir très-sensibles, les plus grands sont ceux qui dépendent des produits de 97, 67', ...; car on verra, dans la suite, que /, /', ... sont de petites quantités, dont on peut négliger ici les carrés sans erreur sensible. Considérons, cela posé, le terme
^rô~|[y^ - 2yy, cos(7, - 7) + y^ j de l'expression de —r- ■ Il est facile de s'assurer que
4[y2-^yy,COs(7, -7) + yn
est égal à la partie indépendante de v dans le carré de l'expression de la latitude de m sur le plan de l'orbite de Jupiter. Nous avons donné cette expression dans le n° 10; en développant son carré en sinus et cosinus de (^ et de ses multiples, et négligeant les carrés et les produits de / et de /', on trouve, pour le double de la partie indépendante de ces sinus et cosinus,
le terme précédent de -j- produit donc le suivant
^ r l cos{pt +A -^')+/.cos(^,/-:-A,--Y')l
41 IJL2J l^i.^cos{p,t + A2-W')-hhcos{p,t~hA, -W')\'
OE livres de i, — IV. 8
Considérons ensuite le terme
L'expression de la latitude du satellite m, au-dessus du plan de l'équateur de Jupiter, est
I9'sin{v-h'^') + l sin{v -{-pt -\- A ) -4- /, sin(t^ +/>, f + A,) -h I2 sin{v -\- p2 1 -h \2) -^ h s'm{v -\- p3 1 -^ A3 ) ,
d'où il est facile de conclure que le terme précédent de -j- produit le suivant
-61 ne'ï ' ^®^(^' +A -T') + /, cos(/7,/ + A, -4^')-| ^''' [-\-l2 cos(/72 t + A2~W') + h cos{p3t-+- A3 - ^') J*
Considérons encore le terme de —j--->
dt
Nous observerons que, y, cosT^ — y,cos74 et y, sin7', — y, sin7, étant
de l'ordre X, qui est une très-petite fraction relativement aux satellites
de Jupiter, la somme y? — 2y',y, cos(7', — 7,) -f-y^ des carrés de ces
deux quantités est de l'ordre "k^, et qu'ainsi on peut la négliger sans
erreur sensible.
Considérons enfin le terme de — rr'
dt
î ^y. C0S7, -^^ y. sin /, -^^ J
11 est facile de s'assurer que l'on a
y,cos7, = (X — i)0'cos¥'h- /cos(;?/ + A) -i-. . .-fy cos7, y, sin7, = — (X— i)9' sinT'— / sin(/?f — A) — . . .+ y sin7;
le terme précédent produit ainsi les suivants
-WX-O^'F pi (^os[pt +A -W')-hpJ,cos{ptt-i-\,-W')l
^ l+P2l2COS[p2i-^A2—^')-hpzl3COS[p3t-^A3-^')i'
Maintenant, si l'on réunit ces différents termes, et si l'on intègre, on aura, pour la partie correspondante de Sf',
[ -sm{pt +A -^') + -sin(/7,/ + A, -^') i
+ -^ sin(»2 ; + A2 - ¥') + - sin(c3 / + A3 - ^')
^^' ^ L+ /2 sin(/?2< H- Ao - W) + /3 sin(/73f + A3 - ^') J
Cette partie de ^ç' est peu sensible, et l'on peut n'y avoir égard que relativement au quatrième satellite. Elle doit être modifiée relativement aux autres satellites, en vertu des termes dépendants du carré de la force perturbatrice.
Si l'on transporte cette expression à la Lune, où l'on a vu que
1 = 1— -> et relativement à laquelle p est à très- peu près égal
o J •) on a
§^, = - 1^ [o)— sm{v -^ pt - W),
équation qui coïncide avec sa correspondante, trouvée dans le n** 29 du Livre VII, en supposant dans celle-ci l'obliquité de l'écliptique trèspetite.
