sm ( f — V
r'ôr'
On appliquera le même raisonnement aux parties de —7-- et de V dépendantes de l'angle in't — 2n"t -h it' ~ 2z", et l'on trouvera que
Ton peut y changer semblablement les angles r^t + e' et ri't + e" respectivement dans v' et v'\ pourvu que l'on ne considère que les inégalités de v' et de v" dépendantes d'un angle quelconque î^h-o, dans lequel i est beaucoup moindre que /i — 2/^' ou «'— 2/1".
L'inégalité dépendante de M/H-E — I, que nous avons déternîiïiée dans le n*^ 8, est de ce genre , sa période étant environ dix fois plus grande que celle de l'angle nt — in! t. L'expression de cette inégalité, trouvée dans le numéro cité, donne, en la comparant à celle-ci )^sin [it-\-o),
d'où l'on tire
on a donc, en n'ayant égard qu'à cette inégalité,
ôf = I i-\ -, j, iHsin M/ + E — I ,
^^ , 6M r qa'mkn'^ itt • /w. t^ t\
èv' = — - — ■ I I ^^— j^— — I H sin (M / + E — I),
r , 3kn^ -|
[()a.'mkn'^ ~|
8am' M2 — kn^){j-h i r + 7 r, ^ '\ ^am ^am J }
[3a"m/fn2 "i .
iH ^^ Hsm Mr 3.«m"(M-^-/rn^) i + 9^ + ^\
Nous avons déterminé, dans le n° 12, les inégalités séculaires des satellites. Leurs parties les plus sensibles sont celles qui dépendent des variations séculaires de l'orbite de Jupiter et de la position de son équateur. Les valeurs de i qui leur sont relatives sont très-petites, en sorte que l'on peut négliger /% eu égard à kn^-, on a donc, en ne considérant
que ces inégalités,
l ; — I sm[it ■+- o],
qa m a m 1 ^ '
[,, ' 3rt'm(X-3X' + ciX") -| . ,. , ,/ qa'm a" m \ I ^ '
X" j^ -, ^^— r- sm i/4-O ,
I o /// qam a' m \ \ ^ '
8am"[i-hi 7 + 7—^/
la caractéristique l' se rapportant, comme dans le n° 9, à toutes les inégalités de la forme sin(iV h- o). De là on tire
ainsi les inégalités à longues périodes, dans lesquelles «^ est considérablement plus petit que kn^^ ne troublent point les rapports que nous venons d'établir sur les longitudes moyennes et sur les moyens mouvements des trois premiers satellites; par l'action mutuelle de ces corps, ces inégalités se coordonnent de manière à satisfaire à ces rapports. C'est ainsi que nous avons vu, dans le n" 16 du Livre II, que l'action de la Terre sur le sphéroïde lunaire fait participer le mouvement de rotation de ce sphéroïde aux inégalités séculaires de son mouvement de révolution et maintient par là l'égalité de ces deux moyens mouvements.
Représentons par C/^, C'^^ et Ql't^ les équations séculaires des trois premiers satellites, dépendantes des variations séculaires de l'orbite et de l'équateur de Jupiter, et même de la résistance de l'éther, et qui auraient lieu sans l'action mutuelle de ces corps. On aura ces équations séculaires en développant en séries 2'Xsin(îV4-o), 2'X'sin(ïV 4- o), 2'X"sin(û -h o), jusqu'aux secondes puissances de t, et en observant que les termes des séries indépendants de t se confondent avec les époques des longitudes, et que ceux qui dépendent de la première puissance de t se confondent avec les moyens mouvements. Les expressions pré-
cédentes de ç, v' , v" donneront ainsi, pour les expressions des équations séculaires modifiées par l'action réciproque des satellites ,
I qa m a m \
I f , I qa'm a" m \ 1 ' 4«m' I + 9 ; + 7 j,
I o ni Qa'm a" m \ I
| \ [\am [\am j ^
Ces valeurs peuvent être employées sans erreur sensible pendant plusieurs siècles, et elles suffiront pendant longtemps aux besoins de l'Astronomie.
17. Les rapports presque commensurables des moyens mouvements des trois premiers satellites ajoutent des termes sensibles aux équations (î), («'), [i") du n° 6, qui déterminent les variations des excentricités et des périjoves des orbites. Reprenons, en effet, les valeurs de û^^ et de df du n° 67 du Livre II. Elles donnent, en observant que |jt. = i à fort peu près,
a(ecosnj) = [2C0St^ + fecoscj + 56003(21^ — sj)j -^
y 1 — e2 Ov
— a?-ndt\l\ — e2 sinf-T-7 * or
ji ' \ andt f. . 1 . t . , \T <^R
a[e sincï) = [->. smv H- |e sinGT + fe smfît' — ^)] -5-
-\- a'^ndti/i — e^ cosi' .
or
Si l'on néglige l'excentricité e dans le second membre de cette équation, et si l'on ne considère dans R que les termes
^ , + w' A^^'J CCS i-îv — 7.^'), ir*
la première de ces équations donnera, en y substituant a^ + 2rSrau lieu de r% et nt -h z -h ^^^ au lieu de r,
rf(ecoscj) = ^andt.m'AC^^ sin(2f — iv') cost-
o j >àAW .
— a^ndt.m —^ — - ces ['xv — iv ]?,\ï\v
oa ^
— ndt ^~^^sin(wf + £) — ndt^ — -^ àv cosint + t)
, j p — 4-9 ràr . , , . -h indt - — T^-!- — T- sminf + e).
Ne considérons , dans le second membre de cette équation , que les termes dépendants de l'angle nt — 2n'l-\-z — 2s', et observons que l'on a à très-peu près, par le n° 4,
rèr m'nF i . ,. ,\
^ m'nF . , , ,.
ov= ; ïT smiint — in t -+- it — le ),
in — in' — N^ '
et que l'on a, par le même numéro,
j, ^ m'Yndtr (o) 1 . , , ,. ,,
a(ecoscT) = i ^— ^ — ^ sin(n/ — in't-\- e — 2e').
La longitude moyenne, dans l'ellipse variable, est augmentée, par le n°7, de termes qui deviennent sensibles à raison des petits diviseurs qui les affectent, et qui dépendent de l'angle nt — 2n't -\- t — 2t'-\- gt + T.
Soient
Q sin(nf — 2n'/ + e — 2e' + g-/ + r),
Q' sin{nt — in't -h z — le' -\- gt -hT)
les termes de p et de f^ dépendants de cet angle. Il faut augmenter nt et n't respectivement de ces quantités dans le terme précédent,
m'Fndt
ti L2L — sinint — in't + 2/1 — 2/1' — NJ ^
et il en résulte, dans l'expression de û?(ecoscy), le terme
On a, par le n° 6,
e cosGî = — h cos [gt -+-T);
il faut donc augmenter la valeur de kg, donnée par l'équation [i) du même numéro, de la quantité
m'Fn
ce qui revient à retrancher cette quantité du second membre de cette équation. Le terme
m'Yn (o)
4 "in — a^i'— N
est de l'ordre du cube de la force perturbatrice; mais, à raison de la grande ellipticité du sphéroïde de Jupiter et de la commensurabilité très-approchée des moyens mouvements des deux premiers satellites, la
fraction ^—^, — ^ est à peu près égale à |; il est donc nécessaire d'y
avoir égard.
L'expression de d{e'cosm') donne pareillement, en ne considérant
dans R' que les termes — ^ f^ + m A',' ' cos [v — v') h- m"A'(2) cos [iv' — i v"),
d{e'cosxs') = — 'i.a'n' dt.mk\^^ sin(v — v') ces/
— a! 2/i' dt . m —^ cos [v — v')sm v'
aa! ^ '
H- ^d n! dt .m" h^^'^'' €\Vi.[iv' — iv") cos/
— a"^n' dt. m" — ^—r- cos [iv — iv") sin v'
aa ^ '
— n'dt P~J^ sïnin't + e') — n'dt ^ ~.f ? àv' cosiri t + e') + 4n'J/ ■2-=i'? ^ sin(n7 + e');
or on a, par le n** 4-,
r'èr' mn'G , . ,. m'VF' , ,
— nr- = -, 7 — ^f ces «f — n /4-e — e' -, -, — — - cosÎT.n t — '2n"t-\ov = —, — --. sin n/ — n't + e— e' h ; ^.sinlin l — 'i.n"t-\-i^ — 2e" .
Par le même numéro on a, à très-peu près,
G = 2a'AV'-a'2Ï^.
oa
on aura donc, en ne conservant que les termes dépendants des angles nt — 2n't -i-t — 2i' et n't — in!'l -l- e' — 2e",
d e'cosnj' = G i V — smint — in't +e — ^e'
î2:2:^'Ff, — (i)^,]si„(«7-.„",+.'-«"
Soit Q"sin(7i/ — ^n't + t — 2t' + gi-\-Y) le terme de Iv" que nous avons déterminé dans le n° 7. Si l'on observe que
nt — in! t -\- t — iz' ^= -K + n' t — in"t-\- e'— îe",
on aura, dans fl?(e'cosCT'), le terme
il faut donc ajouter au second membre de l'équation {i') du n° 6 la quantité
On trouvera, de la même manière, qu'il faut ajouter au second membre
de l'équation {i") du même numéro le terme
les équations [i), [i'), [i") et [i'") deviennent ainsi
g.^oj-|oj-(o, i;
+ \EIl'''-^\EI]''''^\Eé\i''''-'^'f-\^^
o = li'[
H- g3 A + [IT| A' + [^ h"'+ "^ [i - -,^^j j^,] G'(2Q"-Q'),
o^h"\g- (3) - [TJ - (3, o) - (3, i) - (3, 2)] + [37^ h -\-\\T\h' + [37^ /i'\
On pourrait croire que les équations (H) du n'* 10, qui sont relatives aux inclinaisons et aux nœuds des orbites, peuvent, en vertu des considérations précédentes, acquérir quelques termes sensibles dépendants du carré de la force perturbatrice; mais il est facile de se convaincre que cela n'est pas, en considérant les équations différentielles de ces mouvements, trouvées dans le n*^ 71 du Livre II.
18. Le carré de l'inégalité principale des satellites, que nous avons développée dans les n°^ 4 et 5, peut produire un terme sensible, que nous allons déterminer. Cette inégalité peut être supposée relative à une ellipse variable, et, dans ce cas, elle affecte l'excentricité et le périjove de l'orbite. Ainsi [\)ûx\[o.nt— iii!t-\- it — 1^) exprimant, par le n° 5, cette inégalité dans le mouvement du premier satellite, et
OEuvres de L. — IV. II
2esïn{nt -\- e — ts) étant le premier terme de la partie elliptique de Vy si l'on représente par S(esinny) et par S(ecoscj) les variations de esincT et ecoscr dépendantes de la force perturbatrice, on aura dans v
l'inégalité
2Ô(ecoSGT) sin(n; + e) — '2è[es'mrs) cos[nt -+- e).
Donnons à l'inégalité (i) sïn(2nt — 2n't -h 2z — 2e') la forme suivante
(i) cos(nf — in't-he — 'îe') sm{nt H- e) + (i) sin(n/ — 2n7 H- e — 2e') cos{nt + s).
En la comparant à l'inégalité précédente, on aura
id{e siniij) = — (i) sin(/ï/ — in't-h- e — ^e').
iô[ecosxs)= ii)cos{nt — in't-h s
iz
Ces valeurs sont les mêmes que celles auxquelles nous sommes parvenus dans le numéro précédent. En effet, nous avons trouvé
,, , m'Yndtr (o) 1 . /
^ ' 2 L 2/1 — 2»— NJ ^ '
d'où Ton tire, en intégrant,
>, N rn'Yn V (o) 1 / ,
20 ecoscr) = 7 I ^— ^- — ^, CCS n/ — in t h- e — 2e .
* ' n — 2/1 L 2/1 — 2/1 — NJ ^ '
Si l'on observe maintenant que N est à très-peu près égal à n— (o), et
que, par le n° 4,
on verra que cette seconde valeur de 2%{ecosvs) coïncide avec la précédente. Maintenant, l'expression elliptique de v contient le terme |e"sin(2n/ -f- 2e — 2x3) ou
j[e^ cos^GJ — e2 singer) sin [int h- 2e) — f <9* sin cj cosGT CCS ( 2 /î/ + 2 e ) .
En changeant e ûnu dans e sincj 4- ^(csincy) et e coscj dans
ecosCT H- S(ecoscj), on voit que l'expression de v contient la fonction
|j[a(ecoscj)]2 — [ô(esine)]2 jsin(2«/ + 2e)
— f ô(e cosx;s).è[esmm).cos [-3. nt + ae).
En substituant pour ^(ecoscj) et ^(esinw) leurs valeurs précédentes, il en résulte, dans ç, l'inégalité
-j^(i)2 sin (4n/ — 4^1'/ + 4e — 4e')-
On trouvera de la même manière, dans r', l'inégalité
:j^(ii)2 sin{2nf — 2w'/ + 2£ — 2e'),
et, dans (^", l'inégalité
T^(iii)2sin(2n'/ -- in"t -h-ie'— iz").
Ces inégalités sont très-petites; celle qui est relative à v' est la seule qui mérite d'être considérée.
Le carré de la force perturbatrice introduit encore, dans les coefficients de la principale inégalité des trois premiers satellites, des quantités qui augmentent considérablement par le diviseur {n — an')^, qui les affecte. Nous avons eu égard, dans le n° 4, à la partie sensible de ces quantités, qui dépend du produit des masses des satellites par l'ellipticité du sphéroïde de Jupiter, en déterminant avec précision les valeurs de N, N' et W . Les autres parties sont assez petites pour pouvoir être négligées sans erreur sensible.
19. Nous avons déterminé, dans le n*^ 13, les équations séculaires du mouvement des satellites de Jupiter, et nous avons observé que la seule partie de ces équations qui puisse devenir sensible à la longue est celle qui dépend des variations séculaires des éléments de l'orbite de Jupiter et de la position de son équateur. Si la partie de dR, dépendante du carré de la force perturbatrice, renfermait des termes de la forme QH^^^, Q étant un coefficient constant et H étant, comme précédemment, l'excentricité de l'orbe de Jupiter, il est visible que la partie
correspondante de la double intégrale JfiandtdR, qui entre dans l'expression de v, acquerrait par les intégrations un diviseur de l'ordre du carré de la force perturbatrice, ce qui le rendrait sensible et du même ordre que les quantités déterminées dans le n** 13; il importe donc d'avoir les termes de ce genre ou de s'assurer qu'il n'en existe point.
J'observe d'abord que HS dans R, ne peut pas être multiplié par le sinus ou cosinus de 2I, I étant la longitude du périhélie de Jupiter, parce que la valeur de R est indépendante du point arbitraire où l'on fixe l'origine des longitudes. La partie non périodique de R, due au carré de la force perturbatrice, et multipliée par H% ne peut être que le résultat de la combinaison de deux angles qui se détruisent mutuellement sous le signe cosinus; car R ne renferme évidemment que des cosinus. Donnons à H^ cette forme.
l-i(nt
Une partie de l'angle compris sous le signe cosinus peut appartenir aux coordonnées de m, et cette partie est la seule que l'on doit faire varier dans R pour obtenir dR; or, quelle que soit cette partie, il est clair que la différentielle du terme précédent est nulle; dR ne renferme donc aucun terme de la forme QH^c?/, dépendant du carré de la force perturbatrice. Il est visible que le même raisonnement s'applique aux termes dépendants du déplacement de l'équateur et de l'orbite de Jupiter. Ainsi le carré de la force perturbatrice n'introduit aucune quantité sensible dans l'équation séculaire des satellites de Jupiter et dans celle de la Lune.
