THÉORIE GÉNÉRALE DES PERTURRATIONS DES COMETES
1. Soient, comme dans le n° 46 du Livre II, oc^y, z les trois coordonnées de la comète m, rapportées au centre du Soleil; soient x',y\ z' celles de la planète perturbatrice m', et supposons, comme dans le même numéro,
m [xx -\- y/ -\- zz ] m
sj[x' -x)^ + {y' —yY
r et r' étant les rayons vecteurs de m et de m' . Représentons encore par
l'unité la masse du Soleil, et faisons i h- m = {a; on aura, par le numéro
cité,
d^x fix dR
d^y fxy dR
^~~dF'^l^ ~^d^'
d^z [xz dR ^ ~ 'dt^ '^ W^ dl '
Dans le cas où R est nul, ces équations appartiennent h une orbite elliptique, comme on l'a vu dans le Livre II; mais, la valeur de R étant très-petite, si l'on nomme Ix, ^y, Sz les altérations qu'elle produit dans les valeurs de x, y, z relatives à l'orbite elliptique, et si l'on néglige les carrés et les produits de ces altérations, les trois équations précé-
dentés donneront les suivantes
d'^èx èx 3xdr âR ^ ~ 'dt^" ^73 rï~ "*" dx '
d^dX ^ ôj 3r5r dR ~ dt^ ' r3 r"* df '
d^èz §z 3zàr dR
dt^ ' r3 r* dz
Il suffit de satisfaire à ces équations; car, en réunissant les valeurs de SiT, ^y, '^z qui y satisfont aux valeurs de x, y, z relatives au mouvement elliptique et qui renferment six constantes arbitraires, on aura les intégrales complètes des trois équations différentielles primitives du mouvement de la comète.
2. Considérons la valeur de R dans les deux limites de la distance
de la comète au Soleil. Lorsque le rapport ~, de son rayon vecteur à
dR
dx
celui de la planète est une très-petite fraction, la valeur de -r- est très-
petite relativement à celle de ^•> et le rapport de la première à la
seconde de ces deux valeurs est de l'ordre — ^- Dans ce cas, on peut
considérer à fort peu près R comme nul et le mouvement de la comète comme elliptique.
Si — est un grand nombre, c'est-à-dire si la comète est beaucoup plus
loin du Soleil que la planète, en réduisant alors R dans une série descendante par rapport à r et négligeant dans cette série les termes
de l'ordre — ■> on aura
dR rn'[x — x'\
dx " r3
3/n'(^.r'+j/ + zz') — -,
l'équation différentielle en ^x devient donc
d^àx èx 3x{xdx-{-ràx-hzàz) m'{x — x') m'x' , ^ ,, ,, , ,,x
o = — r^ H- -^ ^ -r-^ ■ H ' — z ' H TT" + ^/n [xx' -{- ry -+- zz' ) —
dt^ r^ f f '" r^
Les équations différentielles en Sj et ^z donnent évidemment des équations semblables. Supposons maintenant
ôf = Aj H- A' y,
èz = Az -hk'z'y
et observons que l'on a à très-peu près
l'équation différentielle en ^x donnera
AV A'x' 3Ax 3A'x{xx'-hrr'-^zz')
m'{x — x') m'x' Zm'x[xx' -{- yy' -\- zz'\
On satisfait à cette équation en faisant
ce qui donne
èz =z^m'z 4- m' z'.
Ces valeurs satisfont donc à l'équation différentielle en S^, et il est clair qu'elles satisfont encore aux équations différentielles en Sj et ^z.
Le résultat précédent est un corollaire fort simple du théorème que nous avons donné dans le n° 10 du Livre II. Suivant ce théorème, lorsque la comète est à une grande distance du Soleil, elle peut être considérée comme étant attirée vers le centre commun de gravité du Soleil et de la planète par une masse égale à la somme de ces trois corps; elle décrit donc alors à très-peu près une ellipse autour de ce
point, et la force attractive qui la lui fait décrire est ~ ; r4- Sr
étant le rayon vecteur de cette nouvelle ellipse, représentons par X -+- ^x, y -\-^y et z-h Iz les coordonnées correspondantes. On peut supposer cette ellipse entièrement semblable à celle dont les coordonnées sont 00, y, z et décrite dans le même temps. Pour cela, il suffit que les forces attractives, dans les points correspondants des deux ellipses, soient entre elles comme r-f-Sr est à r, ce qui donne
r r + or : r,
r-^àr)
d'où l'on tire
les coordonnées de la nouvelle ellipse sont, par conséquent,
Ces coordonnées sont rapportées au centre commun de gravité du Soleil et de la planète. Pour avoir ses coordonnées rapportées au centre du Soleil, il faut y ajouter les coordonnées de ce centre de gravité relativement au centre du Soleil, et ces coordonnées sont évidemment m'x', m'y', m! z'\ les coordonnées de la comète, rapportées au centre du Soleil, seront donc
ce qui est conforme à ce qui précède, et, comme ces coordonnées renferment six arbitraires, elles satisfont complètement aux équations différentielles du mouvement de la comète, lorsque l'on y suppose
Cela posé, soit généralement
et
èx = —x -h m'x' + àxi ,
m Ô2 = -^2 + m'z' -hèzt;
les équations différentielles en ^, ^y et Sz donneront
c?2az, ôz, 3zèr, âW
rf/2 r3 r* d^
Dans ces équations, Sr, est ce que devient Sr lorsque l'on y change ^x, fyf Sz en ^x^, Sj,, Ss,. Ces équations ne diffèrent des équations (A) qu'en ce que R y devient R'. Elles peuvent servir avec beaucoup d'avantage pour le calcul des perturbations de la comète dans la partie supérieure de son orbite, parce que R' est alors très-petit.
3. Considérons maintenant les variations des éléments de l'orbite. Prenons pour plan fixe celui de l'orbite primitive de la comète, ce qui permet de négliger le carré de z, comme étant de l'ordre du carré de la force perturbatrice. En faisant, comme dans le n° 50 du Livre II,
h = esinvu, ^=:ecos5j,
e étant le rapport de l'excentricité de l'orbite au demi-grand axe et ct étant la longitude du périhélie comptée de l'axe des x, on aura, par le n" 64 du même Livre,
dh = dx(x^-r2) + i^dr-rd^)^^ di=dr{r-^-x-~^-^ [ydx- xdr) ^ .
Ces deux équations donnent les valeurs de de et de drz, car on a
de = dli sin m -V- dl cos xs , edm = dfi cosgt — dl sinnr,
et, si pour plus de simplicité on prend la ligne même des apsides pour
l'axe des œ, on aura
de = dl, edw =: dh.
Les équations du mouvement elliptique donnent, par le n" 20 du
