Livre II
Jndt -{- £ — CT = î^ — esinw,
r= «fi — ecosa),
tang|{ (^ — sj) = y 7^ tang^M,
Jndt H- £ est la longitude moyenne de la comète ; Jndt-\-z-~x3 est son anomalie moyenne; v — xs est son anomalie vraie et u est son anomalie excentrique, x et j étant les coordonnées de m, si l'on prend la ligne des apsides pour l'axe des abscisses et si l'on compte les x du foyer vers le périhélie, on aura
X ^=rco?,[v — xs], / = rsin((^ — gt).
La seconde et la troisième des équations précédentes (0) donnent ainsi
X z=zacosu — ae, yz=za\Ji — e'^siUM.
Si l'on nomme ensuite \ l'inclinaison de l'orbite de la planète m' sur celle de la comète, et y la longitude de son nœud ascendant comptée de l'axe des apsides; si, de plus, on désigne par v' l'angle que le rayon r' fait avec la ligne des nœuds, on aura
x' ^=z r'cosy cos/— r' siny cosXsini'', y' =: r' siny cosv'+ r'cosy cos^sint'', z' =: r' sinX sint^'.
La valeur de R donne
dR m'x' m[x' — x^
'dx ~ 7^3 p '
/étant supposé égal à \/{oo' — x)'^ -h {y — yf -h {z' — zf . On a pareillement
d^ ^ my m'ir'-r)
dr r'^ p
Cela posé, la valeur de dl donnera
de= — m' adu <^i — e^ cosu[xy — x'y) ( -^ — ;7;^ J
La valeur de dh donnera pareillement
edm^= — m' a du s'in u [xj- ' — x'y) ( -yr — ^^j
-A- m' a^ du sj i —e'^{i — ecosa) ( -7^ -7;^ — j-
Par le n° 64 du Livre II, on a, dans l'ellipse variable, et en observant que [X est à très-peu près égale à l'unité,
</-=2dR, a
la caractéristique différentielle d ne se rapportant qu'aux seules coordonnées de m. En négligeant le carré de z, on a
,p m'(x'dx -hy'dy) m'[{x' — x)dx -\- ( j' — T]dx]']
an — TJT^ — ' — Ti ' ' •
et par conséquent
dR = — m' adu s'mu i -,- fa'l "*" '"'«^'^ v/i — e^ cosm f ^ — ^-^^ ) »
d'où l'on tire
da=im'a^dusmu(pj — — ^^) — im'a^du y/i — e» cosm ( ^ — ^—jr~y
On a ensuite
et par conséquent
fndt='^t-h3f{ndtfadR),
N étant une constante. On aura donc ainsi les variations de l'excentricité et du périhélie de l'orbite, de son grand axe et du moyen mouvement de la comète.
Pour avoir la variation de e ou de l'époque de la longitude moyenne, nous observerons que, dans le cas de l'ellipse invariable, la première des équations (0) donne, en la différentiant,
ndt = du[i — ecosu).
Dans le cas de l'ellipse variable, on doit avoir la même équation, par le Chapitre VIII du Livre II, ce qui donne
Je — 6/cj =: du[i — e cosu) — de sin u,
u ne variant ici qu'à raison des variations de e et de n, au lieu que dans le premier cas il ne varie qu'à raison du temps t. La troisième des équations (0) donne, en ne faisant varier que e et u.
dm du I \ -\- e i de XdiW^^u
cosH(t^ — ro) ~ cos2i-M V I — ^ (i — e) y/i — e2*
En substituant pour cos^^(^ — cy) sa valeur donnée par la même équation, on aura
, c?Gj(i — ecosMl de-EÀViU du=^ ^ — ->
sji — e^ I — e2
d'où l'on tire
7 7 c?st(i — ecosu)"^ de?\nu{i — e^ — ^cosm)
équation qui détermine dz — dvs, et par conséquent la valeur de di.
En intégrant par des quadratures les différentielles de e, ct, a, n, s, on aura pour un instant quelconque tous les éléments du mouvement de la comète dans son orbite; on aura ensuite sa position au moyen
OFAivres de L. — IV. 7.6
des équations (0). Il ne reste plus maintenant qu'à déterminer la situation de cette orbite.
Reprenons pour cela les équations du n° 64 du Livre II :
, , .J ôR ()R\
de =: at [z -r— — a; -^— »
\ ox dz )
,„ , / aR dR\
Si l'on nomme <p l'inclinaison de l'orbite sur le plan des x et des j, et 0 la longitude de son nœud ascendant, on aura, par le même numéro,
tangç= ^^— î lang9=— »
ai
Lorsque l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite primitive, d et c" sont, ainsi que z, de l'ordre des forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces forces et substituant pour R sa valeur, on aura
^=m'a(cosM-e)2'^^--^), de
-^^-m'asji- eKsinu.z' [y-^ -pi'
c^ sja[i — e^)\
or on a, par ce qui précède,
ndt=du[i — ecosu), n2= — ;
on aura donc
de' m'a^du , > , \ ,/ i i \
— = = I — ecosw COSM — e)z' -rs — -^h
—;- = — m'a^du[i — ecosM) sinw.z'f -7^ t^J»
En intégrant ces deux équations, on déterminera pour un instant
quelconque l'inclinaison de l'orbite sur le plan fixe et la position de ses nœuds.
4. Le point le plus important de la théorie des perturbations d'une comète est la différence de deux de ses retours consécutifs au périhélie; voyons comment on peut la déterminer. Prenons pour exemple la comète de 1682, qui a repassé à son périhélie en 1769. Soit T le temps compris entre ses deux passages au périhélie en 1682 et lySg. On peut déterminer N de manière que NT = 21:, iz étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. On a, par le numéro précédent,
n = N(i + 3a/dR).
Si l'on fait commencer l'intégrale /dR à l'instant du passage de la
comète par le périhélie de 1682, où nous fixons l'origine du temps t,
on pourra supposer
n = N(i + 5^ + 3a/dR),
tq étant une arbitraire. Maintenant on a, par le numéro précédent,
V = Jn dt -{- £~ rn, V étant l'anomalie moyenne de la comète; on aura donc
V = Nf (i + ôg) + 3af[^dtfdR] + £ - cj + ôe - ôro,
Se et §C7 étant les variations de s et de ct depuis le passage au périhélie de 1682, £ et cy se rapportant à ce passage, e — tj est nul à cet instant, puisqu'alors V = o, par la supposition. De plus, on a supposé que, t étant égal à T, V = 27c et NT = 27r; on a donc
o = ôe - (55J+ (5^NT + 3a/(N Jf/dR),
les variations Se et W, ainsi que la double intégrale, étant étendues depuis f=:o jusqu'à t = T. Cette équation donnera la valeur de ^q, et, par conséquent, on aura pour un instant quelconque la valeur de n. Cette valeur donnera celle du grand axe de l'orbite, au moyen de l'équation n^ = —'
Nommons N' la valeur de n k l'instant du passage au périhélie de 1759. Prenons ensuite cet instant pour l'origine du temps t; nous
aurons
V = N7 + ôe - ÔCT + 3a, /(N'rf//dR),
Se et Sct commençant ici, ainsi que les intégrales, à l'instant du passage au périhélie en lySg, et «, étant le demi-grand axe de l'orbite à cette époque. Les valeurs de cy, e, e seront déterminées par les observations de la comète faites à la même époque; car, «< étant connu par ce qui précède, la distance périhélie en 17^9 donnera la valeur correspondante de e. Soit T' l'intervalle inconnu du passage au périhélie en 1759 au prochain passage par le périhélie. A ce dernier* instant, V=:27r;
partant,
N'T'+ ôe - ÔGJ + 3a,/(N'J//dR) == ciTT,
les valeurs de ^e et de Su s'étendant, comme les intégrales, depuis t=zo jusqu'à l = T. Cette équation déterminera T'.
On peut faire disparaître dans ces expressions les doubles intégrales, en observant que
3a,/(N'rf^/dR) = 3N7/a,dR-3a,/N'/dR;
en marquant donc d'un trait horizontal placé au-dessus les quantités étendues depuis le périhélie de 1682 jusqu'à celui de 1759, et d'un double trait celles qui s'étendent depuis le périhélie de 1769 jusqu'au prochain périhélie, l'expression précédente de n donnera
N'T = 27r-(3e + ôro + 3a/N/dR.
Cette équation déterminera N', et par conséquent «,. On aura ensuite
N'(T' - T) = ôe - ôe - ÔGJ + ÔGJ - 3N'T7a< dR
- 3a/N/dR+ 3a,/N7dR,
équation qui déterminera la différence T' — T des deux révolutions anomalistiques de la comète.
5. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer numériquement les altérations des éléments de l'orbite. Nous avons déjà observé que l'on ne peut y parvenir que par des quadratures mécaniques, et l'Analyse fournit pour cet objet divers moyens. Je vais exposer ici la formule qui me paraît la plus commode et la plus simple, et pour cela je vais rappeler en peu de mots le principe de la théorie àes fonctions génératrices.
Soit u une fonction quelconque de t, et supposons qu'en la développant suivant les puissances de t on ait
U sera \di fonction génératrice des divers coefficients y^^\ j^'\ y^^\
Il est clair que, j^'\ étant le coefficient de f dans le développement de u, il sera le coefficient indépendant de t dans le développement
de -^; or on a
^=„(..i-.y=„[...(i-.).iii^-i)(i-.y....].
Le coefficient indépendant de t, dans w[^— ij, est évidemment
j(<)j(o) Qy ^y^^\ la caractéristique A étant celle des différences
finies. Il est visible encore que, en considérant ulj — i\ comme une
nouvelle fonction génératrice, son développement, en n'ayant point égard aux puissances négatives de t, sera
De là il suit que le coefficient indépendant de t dans le développement Aqu{^ — i\U-i\ ou ulj—iY est ^y') — ^/^) ou Ay^ En suivant le même raisonnement, on voit que le coefficient indépendant de t dans le développement de w( j — i) est Ay"^ et ainsi de suite; l'équation {i) donnera donc, en repassant des fonctions génératrices
aux coefficients,
Quoique (îette expression de y^ n'ait été conclue qu'en supposant i un nombre entier positif, cependant on Tétend à une valeur quelconque de i. Alors y^ est l'ordonnée d'une courbe parabolique dont l'abscisse est i et qui passe par les extrémités des ordonnées équidistantes y^ y ^y , . . . , l'intervalle qui les sépare étant ici pris pour unité. Quelle que soit la nature de la courbe que l'on considère, on sait que chacun de ses arcs très-petits peut être pris pour un arc parabolique dont l'ordonnée y est exprimée par une série de puissances successives de l'abscisse, comptée depuis l'origine de l'arc. Les coefficients de ces puissances devant être déterminés de manière que la courbe passe par les extrémités des ordonnées voisines y**^ y \ . . . , on aura évidemment l'expression précédente de y\ En la multipliant par di et en l'intégrant depuis i=o jusqu'à i= i, on aura
Ce sera l'aire de la courbe comprise entre y*^ ety^ L'aire comprise entre l'ordonnée y ^ et l'ordonnée y^^ sera pareillement
/y)c?/=j^o + iAj(o^A2j(o + ...,
et ainsi de suite. /yVj représentant donc l'aire entière comprise entre les ordonnées y ^ ety\ on aura
-+- 5 (Ajt»' +Ay) -f-Aj(2) 4,,.-|.Ay'-o)
Or on a
On a pareillement
et ainsi de suite; partant,
- -^ (Arc«) - A/o))
- T^ {A3j(«)-AV'n
+ iTô (A''r^«^-AV^) -6lTlô(A''r^'^'-A.^j(o))
Les valeurs de A/"\ A-y\ . . . dépendent de /"^'\ y«*--\ . . . , et l'on est censé n'avoir calculé que les ordonnées y*^^ y ^ ...,y^"K Pour résoudre cette difficulté, on observera que le coefficient de f^ dans le
développement de la fonction ul^— î\ est Ay^; or on a
Le coefficient de t" dans le développement de u{i — ty est généralement ^y«-9). L'équation précédente donne donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
rir -4- i)
En faisant successivement r= i, r— 2, r= 3, . . . , on aura des valeurs
de Ay"\ Ay"\ . . . qui ne dépendront que des ordonnées y\y"~'^
En les substituant dans l'expression précédente de fy^'^di, on aura
yy(')j« — ij(o)+j(<)4-j(2)|. . .-4 j(«-o 4-ij(«)
— tV ( Aj(«-o — Aj(o))
! (/\2^(«-2) , ^2^(0)) - TTO (A3j(«-3)A3/0))
- ih (A'y«-*) + AY«»)
6. Pour appliquer la formule (P) aux variations des éléments de l'orbite de la comète, on prendra pour abscisse l'anomalie excentrique de la comète, que nous avons désignée précédemment par w, et, si l'on représente par Qdu la variation différentielle d'un des éléments de l'orbite, on fera varier u de degré en degré, et l'on déterminera les valeurs correspondantes de Q. En les désignant par 0^*^^ Q^'\ . . . , Q^"\ la formule (P) donnera la valeur JQ,du ou la variation de l'élément de l'orbite correspondante à la variation supposée dans l'arc de l'anomalie excentrique. Le plus souvent il suffira de ne considérer dans cette formule que la première différence finie; mais vers les points où la comète est près du minimum de sa distance à la planète perturbatrice,
ce qui rend fort considérables les valeurs de ^ et par conséquent celles
de Q, il faut avoir égard aux différences suivantes; il sera même utile alors de diminuer l'intervalle qui sépare les coordonnées équidistantes en faisant varier l'anomalie excentrique de demi-degré en demi-degré.
7. On a vu dans le n° 1 que la partie la plus sensible des perturbations d'une comète peut être exprimée analytiquement lorsque la comète est considérablement éloignée de la planète perturbatrice ou lorsqu'elle est dans la partie supérieure de son orbite, ce qui donne un moyen à la fois exact et simple de calculer ces perturbations. Nous allons développer par ce moyen les variations correspondantes des éléments de l'orbite.
Reprenons l'expression de c?A :
En faisant, comme dans le n° 2,
on a vu, dans le numéro cité, que R' est peu considérable relativement à l'autre partie de R, lorsque le rayon vecteur r de la comète est beau-
coup plus grand que celui de la planète perturbatrice. Par le même numéro, les perturbations de la comète dues à cette dernière partie de R sont représentées en supposant
èx = jm'x -h m'a;', ôj=: im'j+ /n'j', dz ^=-^m'z -+- m'z' .
Cela posé, on a par le n° 64 du Livre II, en négligeant le carré de z,
, (\ dx^\ xdxdy
En faisant varier cette équation par rapport à la caractéristique S, on aura
^, - Il dx-\ fêr idxdàx\ xdxdàv xdèxdr ^ dxdr
Si l'on substitue, pour ^x, Sj, ^z, leurs valeurs précédentes, on aura », ,/ dx"^ xdxdr\ , ,/i dx^\ ,' xx' -h vr' im'rdxdx'
^'' = "'[rw^ - -dT'~)-"'r [-r - diî) + '"r—Fi^ + dt' —
m'x dx df' m'x dy dx' ni'x' dx dy
w^ dî^ ir^
Cette valeur de SA, augmentée d'une constante arbitraire, exprime l'altération de h due à la partie de R indépendante de R'; elle doit donc résulter de l'intégration de l'expression précédente de dh, en y substituant pour R la fonction
c'est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori, en observant que
\ on peut supposer ici — j-, —jj-, • • • égaux a — m' ^— -? — m -^— » —
Si l'on substitue, dans cette valeur de SA, A + - au lieu de y -^ — —^—^
r "^ dt^ dt^
on aura
», ,/, r\ , xy' — x'y m'dx'lxdr — rdx]
\ r) r^ dt^
,dx[xdy' — y'dx + x'dy — ydx')
Œuvres de L.— l\. 27
Il suit de là que, pour obtenir la variation de A, depuis un point donné de l'orbite jusqu'à un autre point, due à la partie de R indépendante de R', il suffit de retrancher la valeur du second membre de l'équation précédente dans le premier point de sa valeur dans le second point.
Si Ton change, dans l'équation précédente, h en l, œ en y, x' en y', et réciproquement, on aura la variation de / due à la partie de R indépendante de R', ce qui donne
., ,/, x\ , xr' — x'y ,j .xdy—vdx dl=m'{^l+-j + m'y \, ^ + m'dy' -^-j^
, , xdy' — y'dx H- x'dr — ydx' ■+- m df — =^- — -7-^^ ^ •' .
En retranchant la valeur du second membre de cette équation dans un point donné de l'orbite de sa valeur dans un autre point, on aura dans cet intervalle la variation de / due à la partie de R indépendante de R'. Les variations de A et de / donnent celles de e et de ex, en observant que l'on a
On a, par le n° 64 du Livre II,
I 2 dx^ -h dy^
a /• dt^
ce qui donne
èa nàr idx dèx -h idy dèy
«2 ~" 7=^ "* dr^
En substituant, pour ^x et Sj, {m'x ■+■ m'x' et ^m'y -+- m'y', on aura
àa -i m' » ,dx^+dy^ ,xx'-\-ry , dxdx' -h drdy'
a- 3 r "* dt^ r^ df^
Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de -^ ^.^ ^ ■> sa valeur
» on aura
oa im'a „ , , xx' -\- yf , dxdx' -i- dydy'
-— = ?m -h im a ~-^ + 1 ma , , •
a r ^ r* dt^
SECONDE PARTIE. - LIVRE IX. 2tl
De là on conclura ^n au moyen de l'équation /z- — — < qui donne
en
3 èa
consl.
et -par conséquent
. 3 m' an , ^ , xx'-\-rr' ^ , dxdx'-^drdv'
on = — — h m n — 6 m an '— 6 m an ^— — =^ — -- •
r r'^ dt^
En retranchant les valeurs de Sa et de Sn à un point donné de l'orbite de leurs valeurs à un autre point, on aura les variations de « et de n dans cet intervalle, dues à la partie de R indépendante de R'.
Pour avoir la variation de l'anomalie moyenne due à la même partie de R, on observera que cette variation est égale à ^^ndt-^-ti — txs. Nommons %n la valeur entière de %n au point de l'orbite où l'on commence à considérer séparément cette partie de R, c'est-à-dire la valeur de %n qui résulte des perturbations antérieures; on aura, en faisant commencer ici le temps ^ à ce point,
Jàndt + (5e — àm=^àn.t -\-fà'ndt + (5e — ^m,
Vn étant la variation de n depuis le point dont il s'agit, due à la partie de R indépendante de R'. On a, par le n*' 3,
r^, 1 ^ ^ rr^, 1. duy{i — ecosu)'- de sin u (i — e^ — e cos u)l
fôndi + 06 — ûcT = I o'n dt — ^ — ^ '- U
J L sji-e^ ^-e^ J
et le second membre de cette équation est égal à
fefi — ecos?/)2 èesmuii — e- — e ces m)
'n T I > ^ Jm sinM(i — ^cosm) ôeduii — ecosu](-2Cosu-+-e^
du[i — ecosu]-iriedw / . >
n ' sli—e^ I — e2
ndt étant, par le n** 3, égal à du[i — ecosw). On a, par ce qui précède, h = o, èh=ze§rn, l=e, èl=:de.
Désignons par m'nq la valeur de l'expression précédente de 1)n à la nouvelle origine que nous avons assignée au temps t; on aura
è'n =.èn — m'?iq ;
en substituant ensuite, pour ^h et S/, leurs expressions précédentes, on trouvera
.-,,.. , ^ m'ixr' — x'r) ô/j(i — ecosM)2
a^sji — e'^ ey/i — e^
èl sin u[i ^ e^ — e ces u )
const.
Si l'on retranche la valeur du second membre de cette équation, à la
nouvelle origine de t, de sa valeur à un autre point de l'orbite, on aura
la variation de l'anomalie moyenne dans cet intervalle, due à la partie
de R indépendante de R'.
Pour avoir les variations de l'inclinaison de l'orbite et du nœud
dues à la même partie de R, on doit observer que, par le n" 64 du
