DES RÉFRACTIONS ASTRONOMIQUES

1. Le mouvement de la lumière dans les milieux qu'elle traverse, et surtout dans notre atmosphère, est un des points les plus importants de l'Astronomie, soit par sa théorie, soit par son influence dans toutes les observations astronomiques. Nous n'apercevons les astres qu'à travers un milieu transparent qui, en infléchissant leurs rayons, change leur position apparente et nous les montre dans un lieu différent de celui qu'ils occupent ; il importe donc de connaître les lois de cette inflexion pour avoir la situation réelle de ces corps.

Équation différentielle du mouvement de la lumière.

Considérons la trajectoire décrite par un rayon de lumière qui traverse l'atmosphère, et supposons toutes les couches de l'atmosphère

Œuvres de L. — IV. 3o

sphériques et de densités variables suivant une fonction de leur hauteur. Concevons encore que le rayon parte de l'œil de l'observateur pour retourner à l'astre. Il décrira visiblement la même courbe qu'il a décrite en venant de l'astre à l'observateur. Nommons r le rayon mené du centre de la Terre à un point quelconque de cette trajectoire, V l'angle que ce rayon forme avec la verticale de l'observateur ou avec le rayon mené du centre de la Terre, supposée sphérique, à l'observateur. Il est visible que la force qui écarte le rayon de lumière de sa direction est dirigée vers le centre de la couche ou de la Terre, puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'elle s'en éloigne d'un côté plutôt que de l'autre. Nommons 9 cette force, que nous considérerons comme une fonction de r. L'équation (3) du n° 2 du Livre II donnera

— ij(^ dr

q^ étant une constante ajoutée à l'intégrale 2f(^dr. De plus, si l'on nomme dt l'élément du temps, on a, par le même numéro,

r^dv=cdt.

Soient ô l'angle que la tangente à la courbe fait avec la verticale de l'observateur, et v' l'angle que cette même tangente fait avec le rayon r; on aura

lang/=. -^

d'où il est facile de conclure

- odr r

[qi-'if^dr)S^q^-^^-iS^dr

L'angle 6 à l'origine de la courbe est le complément de la hauteur apparente de l'astre. A l'autre extrémité, il exprime le complément

de sa hauteur vraie. A la rigueur, le complément de cette dernière hauteur est l'angle formé par la verticale de l'observateur et par une droite menée de l'astre à l'observateur. Mais, vu le peu de hauteur de l'atmosphère et la petitesse des réfractions astronomiques, cette droite peut être censée se confondre avec la tangente menée à la courbe décrite par le rayon de lumière, au point où il entre dans l'atmosphère: la différence est insensible, même pour la Lune. Il suit de là que l'intégrale de l'expression de t/O, prise depuis l'origine de la courbe jusqu'à son autre extrémité, est la réfraction de l'astre. Mais, pour avoir cette intégrale, il faut déterminer les valeurs des constantes c et ^ et la fonction 9.

La constante c se déterminera facilement en observant que, si l'on nomme a le rayon mené du centre de la Terre à l'observateur et si l'on fait commencer l'intégrale f<!^dr h l'origine de la courbe, enfin si l'on nomme 0 la valeur de 6 à ce même point, ou, ce qui revient au même, la distance apparente de l'astre au zénith, on a, par ce qui précède,

tangG = —

d'où l'on tire

- =crsin0.

2. La valeur de q dépend de l'intégrale J<^dr, et par conséquent de la nature de 9. Pour déterminer cette fonction, considérons un rayon de lumière qui doit pénétrer dans un corps transparent terminé par des surfaces planes. La molécule de lumière, avant son entrée dans le ct)rps, est attirée perpendiculairement à la surface plane par laquelle elle doit y pénétrer. En effet, l'action du corps sur la lumière n'étant sensible qu'à de très-petites distances, les parties du corps un peu éloignées de la molécule de lumière n'ont point d'action sensible sur elle, et l'on peut, dans le calcul de l'action du corps, le considérer comme un solide infini terminé par une surface plane indéfinie dans

tous les sens. Dans cette hypothèse, il est visible que l'action du corps sur la molécule de lumière est perpendiculaire à sa surface.

Considérons d'abord cette molécule avant son entrée dans le corps. Soit s la distance de la molécule de lumière à une couche infiniment mince du corps, parallèle à sa surface. Soit ^dsll{s) l'action que cette couche exerce sur la molécule, p étant la densité du corps et ds étant l'épaisseur de la couche. Si l'on nomme s' la valeur de s relative à la surface extérieure, il faudra, pour avoir l'action totale du corps sur la molécule de lumière, intégrer pdsJl[s) depuis s = s' jusqu'à 5 = 00. Soit 11,(5') l'intégrale fdsU{s) prise dans ces limites.

Maintenant, si Ton nomme x et s' les coordonnées orthogonales de la molécule de lumière, a: étant parallèle à la surface du corps et dans le plan formé par la verticale à cette surface et par la direction du rayon lumineux, on aura

-di^ = ''*

dt étant l'élément du temps, supposé constant. On a donc, en multipliant la première de ces équations par dr, la seconde par ds', et en intégrant leur somme,

^- =:const. — 1.Jç>ds'Xi.^{s').

Pour déterminer la constante, nommons K l'intégrale /c?/ 11,(5'), prise depuis s'= o jusqu'à s'= co ; nommons encore n la vitesse de la lumière à une distance sensible du corps. A cette distance, Jds'\^.^[s') est égal à K, parce que l'action du corps sur la lumière n'est sensible qu'à de très-petites distances; on a donc

«2— const. — apK,

et par conséquent

const. =:n2-h apK,

d'où l'on tire

-^^ =n^'-hiplL — i^jds n,{5').

Ainsi, à l'entrée de la lumière dans le corps, où s' est nul et où l'intégrale commence, le carré de la vitesse de la lumière est 7i^+ 2pK.

Pour avoir la valeur du carré de cette vitesse lorsque la lumière a pénétré dans le corps de la quantité s', nous observerons que, s' étant la distance de la molécule à la surface du corps, elle est attirée vers cette surface par une couche de l'épaisseur s'; mais cette attraction est détruite par l'attraction d'une couche inférieure de la même épaisseur, en sorte que la molécule n'est sollicitée à se mouvoir que par l'attraction des couches inférieures à celle-ci; elle est donc sollicitée de la même manière que lorsqu'elle était au dehors et à la distance s' de la surface du corps; ainsi l'attraction que le corps exerce sur elle est égale à pn,(*'). Mais ici cette attraction tend à augmenter s'\ en nommant donc X et s' les deux coordonnées de la molécule, on aura

d'où l'on tire

dx^ + ds'^ ^ ri,Tti' -^— = const. + ipfds \ii[s

La constante est évidemment le carré de la vitesse de la molécule au point où elle pénètre dans le corps, et nous venons de voir que ce carré est égal Si n^-h 2pK. Pour déterminer la valeur de l'intégrale /û('/n,(f') lorsque la molécule a sensiblement pénétré dans le corps, on doit observer qu'elle est à très-peu près égale à cette valeur prise depuis /= o jusqu'à /=: GO , et par conséquent égale à K; on a donc, lorsque la molécule a sensiblement pénétré dans le corps,

dx^ + ds'^ , , „ — ^-p-=«^ + 4pK.

Nommons 6 l'angle d'incidence que la direction du rayon de lumière fait avec la perpendiculaire à la surface avant son entrée dans le corps et lorsqu'il en est encore sensiblement éloigné ; on aura

smy =3 — 7-' nat

Nommons 6' l'angle de réfraction que ce rayon forme avec la perpendiculaire à la surface lorsqu'il a pénétré sensiblement dans le corps;

on aura

. ,, dx dx

sjdx^-\-ds'^ ,^ / 4pK

Les valeurs de -r-- sont les mêmes dans ces deux cas, puisque l'on a

d^x constamment -j-- — o; on a donc

( \ . ., sin9

4pK

c'est-à-dire que le sinus d'incidence est au sinus de réfraction en raison constante, et cette raison est celle de la vitesse de la lumière après avoir sensiblement pénétré dans le corps à sa vitesse avant que d'y pénétrer et lorsqu'elle en est encore à une distance sensible.

La quantité 4pK est l'accroissement du carré de la vitesse de la lumière lorsqu'elle a éprouvé toute l'action du corps transparent. Cette quantité n'est pas la même dans les divers corps diaphanes; elle ne suit pas la raison de leurs densités. Il est possible que la fonction de la distance qui exprime leur action sur la lumière soit différente pour chacun d'eux; il se peut qu'elle soit la même et qu'elle ne diffère dans les divers corps que par le produit de leur densité multipliée par un coefficient constant différent suivant leur nature. Dans ces deux suppositions, l'action totale des corps sur la lumière sera la même, et, comme dans le calcul on n'a besoin que du résultat total de cette action,

on peut employer la seconde supposition, comme la plus simple. Le coefficient constant dont je viens de parler peut représenter l'intensité respective de l'action des corps sur la lumière ou leur pouvoir réfringent. Ce coefficient est proportionnel à ^ ; ainsi l'on peut représenter

par cette dernière quantité le pouvoir réfringent des corps. Si l'on nomme i le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction, on aura, par ce qui précède,

on aura donc, par cette formule, les rapports des pouvoirs réfringents des diverses substances de la nature.

Les rayons de diverses couleurs étant différemment réfrangibles, il faut ou que leurs vitesses ne soient pas les mêmes, ou que l'intensité de l'action des corps soit différente sur chacun de ces rayons. La différence des vitesses ne peut pas expliquer seule tous les phénomènes de la réfrangibilité des rayons ; car alors la différence des réfractions des rayons extrêmes, c'est-à-dire la dispersion de la lumière, serait la même pour tous les corps qui réfracteraient également les rayons moyens, ce qui est contraire à l'expérience.

Considérons présentement le rayon en mouvement dans l'intérieur du corps et lorsqu'il est sur le point d'en sortir par une surface plane inclinée de l'angle e à la surface d'entrée. Soit s' sa distance à cette surface, et nommons x l'abscisse parallèle à la même surface; on aura

d'où l'on tire

ds"^

-j-T — consl. -+■ ipfds'ILi{s'),

df^ l'intégrale étant prise depuis *'= o. Lorsque s' a une valeur sensible,

cette intégrale est égale à aKp, et l'on a

= «y/i+^p.sin(9' + e),

partant

const. = «2(n- ^ pjcos2(e' + e) — ^Kp,

ce qui donne

n2(i-h-^p)cos2(ô' + £)-2Kp + ap/</5'n,(5').

dt^

ds'^ Cette valeur de -r-^ deviendra nulle avant que le rayon ait atteint la

surface de sortie, toutes les fois que ( i + --jp) cos''(6'H- e) sera moindre

que -y p. Dans ce cas, il est visible que la valeur de -j- restera toujours

la même et que le rayon décrira, en s'éloignant de la surface de sortie, une branche de courbe entièrement semblable à celle qu'il décrit en

ds' s'en approchant, le sommet de la courbe entière étant au point où ^

est nul. L'action des corps sur la lumière n'étant sensible qu'à de trèspetites distances, la partie sensiblement courbe de cette trajectoire peut être regardée comme un point, et les deux branches de la courbe comme deux droites qui se réunissent à ce point, en sorte que le rayon parait se réfléchir de la surface de sortie, en formant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. La limite de cette réflexion a lieu lorsque le sinus de l'angle d'incidence 6' h- e sur la surface de sortie est égal à

et cette réflexion a toujours lieu lorsque le sinus de l'angle d'incidence

surpasse cette quantité; mais, lorsqu'il est plus petit, le rayon sort du corps, et il est facile de voir qu'à la distance s' de la surface de sortie on a

l=:n^(i-h^-p\cos^Q'+e] - 'îKp - -ipfds'n^is'),

l'intégrale étant prise depuis s' = o. A une distance sensible s', on a fds"n.i[s') = K, partant

ds^ dt^

«-(» + — p)cos2(5' + e) -4Kp;

-j-j deviendra donc nul toutes les fois que l'on aura

sin(9'+£)>

Dans ce cas, le rayon paraîtra encore se réfléchir de la surface, en formant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Ainsi, depuis

sin(6'H- e) = — jusqu'à sin(0' + s) = =? le rayon pa-

raîtra encore se réfléchir de la surface, mais après être sorti du corps

diaphane; et, depuis sin(6'-h£)= — jusqu'à sin(6' + e) = i,

le rayon paraîtra se réfléchir de la surface, mais il ne l'atteindra pas. Lorsque sin(6'H-£) est moindre que — - ^ le rayon sortira du

corps sans se réfléchir. On aura alors, à une distance sensible du corps.

dx^ "dt^

lz=n=^(n-^p)cosM9'+e)-4Kp,

dv^

OEuvres de L.— IV. 3l

ce qui donne le carré de la vitesse de la lumière égal à /^^ et par conséquent le même qu'avant l'entrée du rayon dans le corps. Après la sortie et à une distance sensible, si l'on nomme 6" l'angle que la direction du rayon fait avec la perpendiculaire à la surface de sortie, on aura

sin9" =

\jdx'^ + ds"partant

sinô^^l/ 1+ ^p.sin(9'+£).

Concevons la surface de sortie contiguë à la surface d'un second corps opaque ou diaphane, et dont nous représenterons par ^'W^[s') l'action sur la lumière à la distance s' , p' étant sa densité; on aura, tant que le rayon sera dans le premier corps,

^^=pn,(.')-p'¥,(5-).

ce qui donne

j =n^L-h^-p\cos^{9'-ht)--iKp-hiK'p'-h'xpfds'nt{s')-'2p'fds"'Vi[s'),

K' étant l'intégrale fds'Wf{s') prise depuis s'=o jusqu'à s' = co . Dans ce cas, le rayon paraît se réfléchir à la surface commune des deux corps sans pénétrer dans le second, toutes les fois que le sinus d'inci-

dence sin(ô'+ e) est égal ou plus grand que \ / j^

Si le rayon sort du premier corps et pénètre dans le second, il est aisé de voir qu'à la distance / de la surface on aura

dt^

= n^L-^^p\cos''{B'+i]-'i}Lp + 'xK'p'-'ipSds'\ix{s')-h'ip'Sds''¥^[s).

A une distance sensible, on a

dt^

n^fi + ^.p\ cos^9'-h s) - 4Kp + 4K'p';

le rayon se réfléchira donc toutes les fois que sin(6'+£) sera

I + ^p égal ou plus grand que ^ / Tk~^ ^^ V^^ suppose K'p' moindre

que Kp. Lorsque sin(0'H-£) sera compris entre cette limite et celle-ci

j^ » le rayon continuera de se réfléchir en péné-

trant dans le second corps. Lorsque sin(8'4- s) surpassera cette dernière limite, le rayon continuera de se réfléchir, mais il cessera de pénétrer dans le second corps. Si ce dernier corps, par sa nature, absorbe la lumière, le rayon ne pourra être réfléchi que de cette seconde manière, et alors l'observation de la limite à laquelle il cesse de se réfléchir déterminera la valeur de K'p', et par conséquent le pouvoir réfractif du second corps. On pourra donc ainsi déterminer par l'expérience le pouvoir réfractif des corps même opaques.

Lorsqu'un rayon de lumière traverse diff'érents milieux terminés par des surfaces planes et parallèles, il est facile de voir, par l'analyse précédente : i° que le carré de sa vitesse perpendiculaire à la surface dans le premier milieu est augmenté d'une quantité Q dépendante de l'action de ce milieu sur la lumière; 2° que, après être sorti du premier milieu et après avoir sensiblement pénétré dans le second, le carré de cette vitesse s'accroît de la diff'érence Q' — Q des actions du second et du premier milieu, et ainsi de suite; d'où il résulte que, pour un nombre t + i de milieux, l'accroissement de ce carré est Q^'\ et par conséquent il est le même que si la lumière avait pénétré immédiatement dans le dernier milieu; et, comme le carré de la vitesse horizontale ou parallèle aux surfaces reste toujours le même, on voit que, dans ces divers milieux, la vitesse de la lumière est la même que si elle eût pénétré immédiatement dans chacun d'eux; sa direction est parallèle à celle qu'elle eût eue dans ce dernier cas.

En général, quels que soient les milieux par lesquels la lumière

arrive dans un corps et quelle que soit l'inclinaison mutuelle de leurs surfaces, la vitesse de la lumière dans ce corps est toujours la même.

3. Nommons présentement p la densité d'une couche de l'atmosphère dont le rayon est r. Dans le calcul de l'action de cette couche sur la lumière, on peut la considérer comme étant plane, à cause du peu d'étendue de cette action et de la grandeur du rayon terrestre. La densité d'une couche inférieure de la quantité s est

dp s^ d^p ■^ dr 1.2 dr^

L'action de cette dernière couche sur un corpuscule placé à la distancer du centre de la Terre est

XII y ( dp S^ d^p

L'action d'une couche supérieure de la quantité s sur le même corpuscule est

La différence de ces actions est

„, . / dp 5» rf'p

— an* *-/- + ■ — "^

^ ' \ dr I , r2

3 dr^ "^

H faut multiplier cette différence par ds et l'intégrer depuis 5 = 0 jusqu'à s = ^ pour avoir la force totale avec laquelle l'atmosphère détourne le corps lumineux vers le centre de la Terre, ou la valeur de «p; or on a, par ce qui précède,

U,{s]=fdsn[s),

l'intégrale étant prise depuis s = s jusqu'à ^ = oo . En prenant donc l'intégrale depuis * = o jusqu'à s = s, on aura

fdsU{s) = consi. — Ut{s),

d'où il est aisé de conclure

fsdsll{s)=:~sn,{s)+fdsU,{s),

La fonction ^n,(^) est nulle lorsque ^ = o; elle est encore nulle lorsque s est infini, car la fonction n,(^) est alors infiniment petite et infiniment moindre que -> puisque l'action des corps sur la lumière est insensible à de très-petites distances. On a donc, en prenant l'intégrale depuis ^ = o jusqu'à ^=00,

fsds11{s) =fdsïlt[s] = K,

K étant ici la même chose que dans le n° 2. Les termes ^/^'û?^n(*), -~fs^dsJl{s),... peuvent être négligés relativement à fsdsJl{s), à cause du peu d'étendue de l'action des corps sur la lumière. En effet, supposons, par exemple, que cette action soit représentée par Qc~'% c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, i étant un très-grand nombre, ce qui rend c^" insensible à une très-petite

distance. Les intégrales fsdsc~^% ^Js'-^dsc^^\ ... deviennent ^1 —^) •'•■>

d'où l'on \oit que lfs^dsll{s), ■— fs^dsïl{s), ... sont insensibles relativement à fsdsJl{s), et il est facile de voir que cela a lieu pour toute autre fonction qui rend l'action de la lumière insensible à de trèspetites distances. Il suit de là que «ç = — 2K ^î et par conséquent

f<Ddr=iK[{p)-p'\,

(p) étant la densité de la couche atmosphérique dont le rayon est a. Lorsque r est infini, p est nul, et l'équation (i) du n° 1 donne

r^dv

Mais on a r'^dv^=cdt\ d'ailleurs, r étant infini, on a dr~ndt', on a donc

partant

ce qui donne, par le n*^ 1, où l'on a vu que - = ^sine,

et l'équation (2) du même numéro devient

-îK , / 4K, ; . ^

/ 4K \ / 4K r 4K, .la^

Cette équation suppose que les forces réfractives des couches de l'atmosphère sont proportionnelles aux densités de ces couches; c'est ce qui résulte des expériences de Hawksbee. Cependant il est possible que cela ne soit pas rigoureusement exact, et il serait utile de faire sur cet objet un plus grand nombre d'expériences. Mais, quel qu'en soit le résultat, on peut toujours employer l'équation précédente, en y supposant que p représente la force réfractive de la couche de l'atmosphère dont le rayon est r. Nous supposerons, dans la suite, que cette force est proportionnelle à la densité de la couche, ce qui s'éloigne très-peu de la vérité.

Intégration de l'équation différentielle du mouvement de la lumière.

4. Pour intégrer l'équation (3), il faudrait connaître p en fonction de r, c'est-à-dire la loi suivant laquelle la densité des couches de l'atmosphère diminue à mesure que l'on s'élève au-dessus du niveau des mers. Les deux limites de cette loi sont une densité constante et une densité décroissante en progression géométrique quand la hauteur croît en progression arithmétique, ce qui, comme on le verra dans la suite, suppose une température uniforme dans toute l'atmosphère. Considérons donc les réfractions dans ces deux cas extrêmes.

La supposition d'une densité constante revient à ne faire varier p

qu'infiniment près de la surface extérieure de l'atmosphère. Soit donc, à cette surface, r^=a + l, et faisons

4Kp

l'équation (3) du numéro précédent deviendra

ce qui donne, en intégrant,

ôô = arc tangT — arc langT',

et par conséquent

langôô ==

i + TT'

où l'on doit observer que §0 exprime la réfraction ou ce qu'il faut ajouter à la valeur de 6 pour avoir la distance de l'astre au zénith, dépouillée de la réfraction. On doit observer encore que, l'intégrale devant être prise depuis p = (p) jusqu'à p = o, T est la valeur de t à l'origine de la courbe, où p = (p), et T' est sa valeur à la fin, où p = o, ce qui donne

(g -4-02 [a + lY'

Pour conclure de ces formules la réfraction horizontale, il faut y sup-

poser sine = i; il faut, de plus, connaître les valeurs de /et de — (p).

Au niveau de la mer, à la température de la glace fondante, et la hauteur du baromètre étant 0^,76, on a

C'est la valeur qui résulte d'un grand nombre d'observations sur les liauteurs des montagnes, déterminées par le baromètre et comparées à

leurs hauteurs mesurées trigonométriquement. Un très-grand nombre d'observations sur les réfractions a donné, à la même température et à la même hauteur du baromètre,

-—.{p)z=Oj 000294047 , OU - — -r^ = o , 000-293876 ;

on a ensuite

Au moyen de ces valeurs, on trouve, pour la réfraction horizontale,

Quoique les astronomes ne soient point d'accord entre eux sur la

valeur de cette réfraction, cependant ils la trouvent tous beaucoup plus

grande à cette pression et à cette température. Le milieu entre leurs

résultats donne

$6 = 65oo".

Ainsi, l'hypothèse d'une densité uniforme est trop contraire aux observations sur la réfraction pour pouvoir être admise.

5. Considérons maintenant l'hypothèse d'une température uniforme.

Si l'on fait

l'équation (3) du n° 3 devient

rfp , . .

(4) de = -- -^ :.. . '"' . , ;

— îaf I— -P- I u/cos^e— aaTi— A 1 + {is — s^)sin^e a étant très-petit, nous pouvons supposer, sans erreur sensible, le

facteur i — 2a i — lA égal à sa valeur moyenne comprise entre ses

deux valeurs extrêmes i et i— 2a; nous le supposerons donc égal à I — a. La température de l'atmosphère étant supposée uniforme, si l'on nomme/) la pression ou la force élastique de l'air correspondante à la densité p, et {p) la pression correspondante à (p), on aura, comme il résulte de l'expérience,

Si l'on nomme encore g la pesanteur correspondante à r, et (g) celle qui correspond à a, on aura, à très-peu près,

La diminution de la pression/?, lorsque l'on s'élève de l'élément dr, est visiblement égale à la petite colonne d'air p</r, multipliée par sa pesanteur g; on a donc

«?P = -(§■) ri P«^^

et par conséquent

d'où l'on tire, en intégrant,

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Désignons par / la hauteur d'une colonne d'air de la densité (p) et qui, animée par la pesanteur {g), ferait équilibre à [p); on aura

partant

p = {p)c~-' ; l'équation (4) devient ainsi, en réduisant le radical en série par rapport

Œuvres de L. — IV. 32

aux puissances de s,

-j- as.c ' sin6

[i — <x)\cos-Q — -ix^i — c ^ ) -h iss'm^Q]

ocjsds.c ' sinQJ cos^S + l^sin^e — 2a

(i — a)l cos20 — 2a\i — c ' ) -h nssin^Q}

Le premier terme de cette expression différentielle est beaucoup plus grand que les autres, qui sont presque insensibles; nous allons d'abord l'intégrer. Pour cela, nous ferons '

s = s'+ ex r-VK— '

sin2 0

et nous aurons, par le n° 21 du Livre II,

Is'm'^e ^ i.3./sin*0 ds'

as ai

a' a 1.2.3.. ././sin2'0

ds'i-*

Le terme dont il s'agit deviendra donc, en observant que ^ ds.c ' est

égal à — û?.c ' ,

a j sinQ ds'

sin2 0 ds'

dt^ d^[\c ' -i) c ' \