z sin^'0 L 1.2 ^ ' J

Il faut multiplier chacun des termes de ce développement par

a J , , ûcjds sin 0

(i — a) v'cos^© + 25'sin=^0 et prendre ensuite les intégrales depuis s'= o jusqu'à ^' = i — °^^\ ^ •

as"

Mais comme, à cette dernière limite, c ' est d'tîlne petitesse excessive,

parce que c surpasse 2, et que j est un très-grand nombre et à peu près

égal à 800, on voit que les intégrales peuvent, sans crainte d'aucune erreur appréciable, être prises depuis *' = o jusqu'à s' = (X) . Considérons, cela posé, la différentielle

ra ,

J as c ' sin0

\/cos-0 + 2 5'sin2 0 et faisons

1 COS20 , l ,

2 sin2 0 ar ' la différentielle précédente devient

/ ra cos'e

L'intégrale doit être prise depuis i =y — -^—- jusqu'à / = oo ; supposons que l'on ait, dans ces limites.

idtc-^':

ar C08«e 2/ sln»e

èd

on aura, en n'ayant égard qu'au premier terme de c?0,

i-aV /

ce T

"^^'^-^ sïïr4 ^^(^i-'ï'io]

sin2 a

i.2.sin* a»

i.2.3.sin*'0 ■- ^ '

expression que l'on peut mettre encore sous cette forme :

/giii*a

/sin2 0 i.2./2sin*e

La difficulté se réduit à former T(r) ou à prendre l'intégrale fdic~^' depuis t = \/—, -r-^ jusqu'à / = oo . Dans le cas de la réfraction horizontale, cose = o et sine = i ; W{r) est donc alors indépendant de r et égal à l'intégrale fdtc~'\ prise depuis t nul jusqu'à t infini. Pour déterminer cette intégrale, considérons la double intégrale JJdsdxc~^''^^^^\ les intégrales étant prises depuis s nul jusqu'à s infini, et depuis x nul jusqu'à X infini. Intégrant d'abord par rapport à s, on aura

/dx est l'angle dont la tangente est^r; cette intégrale,

prise depuis x nul jusqu'à x infini, est l'angle droit ou -j t: étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité; on a donc

dsdxc-^(*+^*)=z -.

Prenons maintenant cette intégrale d'une autre manière et supposons

sx^ = t^, ce qui donne dx=^ —5 * étant supposé constant dans la diffé-

rentiation ; la double intégrale précédente deviendra donc C Cj.dtc-'-^' ou Ç-ic-s Cdtc-^\

Nommons K l'intégrale fdtc~^\ prise depuis t nul jusqu'à t infini; la

/ds --^c~\ Soit s = t'^ , ce qui

donne

on aura

partant,

r^ c-s Çdtc-''= 2K2 == r Çdsdxc-'(

l'expression de la réfraction à l'horizon est donc

expression que l'on peut encore mettre sous cette forme : 7-"^ V 2 T V

lia 2 C ~^

Pour avoir la valeur de T(r) lorsque l'astre est peu élevé sur l'horizon , supposons

~ 2/ sin20'

nous aurons, en prenant l'intégrale depuis t = o jusqu'à ^ = T,

3 1.25 1.2.37 Nous aurons encore

Cdtc-^'=c-'''T[

Ces deux séries finissent par être convergentes, quel que soit T; la première est alternativement plus grande et plus petite que l'intégrale, suivant que l'on s'arrête à un terme positif ou à un terme négatif, en sorte que, si l'on ajoute à un nombre quelconque de ses termes la moitié du terme suivant, l'erreur sera moindre que cette moitié, ce qui donne un moyen simple pour juger du degré d'approximation. En retranchant ensuite la valeur de la série de ^v^tt, on aura celle de l'intégrale Jdtc^^ depuis ^ = T jusqu'à t infini. Lorsque T est égal ou plus grand que 3, on aura la valeur de l'intégrale au moyen de la série

série qui jouit encore de l'avantage d'être alternativement plus grande et plus petite que l'intégrale, qui est ici prise depuis t = T jusqu'à / infini.

On peut donner à cette série la forme d'une fraction continue par la méthode suivante, qui peut servir dans d'autres circonstances, et au moyen de laquelle la série peut être mise sous une infinité de formes différentes.

Supposons

nous aurons, comme il est facile de s'en assurer par la différentiation,

du , ,

Considérons u comme fonction génératrice de la série

l'équation différentielle précédente donnera, en n'y considérant que les coefficients de la puissance f,

et, dans le cas de r = o, on a

ce qui revient à faire jo = i* Nous observerons ici que généralement la fonction génératrice u de y,., dans toute équation linéaire aux différences finies dans laquelle les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières de r, peut être déterminée, par la considération précédente, au moyen d'une équation différentielle infiniment petite du même ordre que la plus haute puissance de r dans ces coefficients.

Maintenant toute équation linéaire du second ordre aux différences finies peut être facilement réduite en fraction continue par la méthode dont nous avons fait usage dans le n" 10 du Livre IV. Considérons généralement l'équation

Xr=arrr+S + brXr+2',

on aura

— ar-{- Or y Xr+i Xr+t

et par conséquent

Xr+i I

Xr+i

ce qui donne

Xr+2 l

Xr+t , f. rr-4-3 Jr+2

et ainsi de suite; partant,

^' ar

Ur+t

Si l'on fait fl^=i et br = {r-\- i)q, on aura l'équation différentielle précédente,

et alors

Faisons r = o; nous aurons, en observant que jo= i»

2fl

j, est le coefficient indépendant de t dans le développement de la

série

et, par conséquent, on a

j) = i — çH-i,3.^2, 3 5,^3|.

En supposant donc

on aura

l'intégrale étant prise depuis f = T jusqu'à t infini. Sous cette forme, on peut employer son expression pour toutes les valeurs deT; mais, pour la simplicité du calcul, il convient de n'en faire usage que dans le cas où q est égal ou plus petit que {; dans les autres cas, les deux premières séries donneront plus facilement l'intégrale. Pour employer la fraction continue précédente, il faudra la réduire en fractions ordinaires, qui seront alternativement plus grandes et plus petites que l'intégrale.

Les deux premières fractions sont - et Les numérateurs des frac-

tions suivantes sont tels, que le numérateur de la,/'^'"^ fraction est égal

au numérateur de la (/— i)*^™^ fraction, plus au numérateur de la

(« — 2)'™® fraction, multiplié par [i — \)q. Les dénominateurs se

forment de la même manière. Ces fractions successives sont ainsi

I I \-\-iq 1 + 5^ ' + 9^ + ^^^

i' x + g' 1 + 3^' 14-6^ + 3^2' , | jog H- i5^2'

Considérons maintenant le second terme de d^, donné par la formule (5), et voyons quelle est son influence. Elle est la plus grande dans le cas de la réfraction horizontale, et dans ce cas ce second terme devient

-jds.c '^Y\s — io\\—c ' jj

La partie la plus sensible de cette intégrale correspond à s très-petit, parce qu'alors le dénominateur e&t fort petit. On peut donc, dans ce

I — c ' j, développer c ' en

OEuvres de L. — IV. 33

série et n'en considérer que les premiers termes. Si l'on s'en tient aux deux premiers, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, on aura

as f

jds\/sc M 3 — 4a t) 1 (i-aj(i — a^ En l'intégrant depuis s nul jusqu'à s infini, on aura

quantité qui ne s'élève qu'à trois ou quatre secondes et qui, par conséquent, est insensible à l'horizon, où la réfraction éprouve de grandes variations. On peut donc, dans tous les cas, négliger le second terme de la formule (5) et s'en tenir au premier.

Si l'on fait usage des valeurs de —j (p), / et « données dans le n" 5,

on trouve que, dans l'hypothèse que nous considérons, à zéro de température et à la hauteur o™, 76 du baromètre, la réfraction horizontale est égale à 7890", 71. Celte réfraction surpasse de près de 900 secondes celle que l'on observe, ce qui prouve l'erreur de l'hypothèse d'une température uniforme dans toute l'étendue de l'atmosphère. On sait, en effet, que cette température diminue à mesure que l'on s'élève, et, comme l'air se condense par le froid, il en résulte que la différence de la densité d'une couche de l'atmosphère à la densité de la couche immédiatement supérieure est par là diminuée. La limite de cette diminution est celle d'une différence nulle ou d'une densité constante, et l'on a vu, dans le n° 4, que dans ce cas la réfraction horizontale est trop petite; la constitution de l'atmosphère et les réfractions sont donc entre les deux limites que donnent les hypothèses que nous venons de considérer, mais on peut obtenir deux limites plus rapprochées de cette manière.

6. L'équation différentielle (3) du n** 3 s'intègre rigoureusement, en y supposant

Si l'on fait alors

elle devient

[im — i) \li — 22 d'où l'on tire, en intégrant depuis 5 = sin 0 jusqu'à z =

sin6

I /' , sin0 \ 9 — arc sin

équation que l'on peut encore mettre sous la forme

Relativement à la réfraction horizontale, on a 0 = loo**, et alors

lang — ô0 = ■- ~ ^ j lang ( 0 h àB

lang 0

lang àO

de plus, —, (p) étant une fraction extrêmement petite, on a, k fort peu

près,

ht^(p)]

on aura donc, à fort peu près,

et, en prenant l'arc lui-même pour sa tangente, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, on aura

Si l'on voulait ne considérer que les réfractions, on pourrait déterminer m de manière que le second membre de cette équation représente la réfraction horizontale observée, que nous supposons de 65oo secondes. Alors l'expression générale de tang §9 donnera, pour

toutes les hauteurs, la réfraction SG. C'est le procédé qu'ont suivi plusieurs astronomes pour construire une Table de réfraction, et cette Table satisfait assez bien aux observations. Mais, pour représenter la nature, il faut que la constitution précédente donne non-seulement les réfractions observées, mais encore la hauteur du baromètre et la diminution observée de la chaleur à mesure que l'on s'élève; considérons donc ces deux phénomènes dans l'hypothèse précédente. Reprenons l'équation du n° 5,

si l'on substitue, pour -» 1 j^ — 1 , on aura, après l'intégration, et

en observant que p est nul avec p,

Cette expression donne, à très-peu près,

(p) étant la pression à la surface de la Terre, où p = (p) et - = i, on a, par le n*' 5,

on aura donc

Cette équation donne, à la surface de la Terre,

et, par conséquent, la réfraction horizontale Sô devient

// I aK

Si l'on substitue pour a, /et — j(p) leurs valeurs données dans le

n° 4, on a

àQ = 563o".

Cette réfraction est moindre que la réfraction observée , mais elle est plus grande que celle qui résulte de l'hypothèse d'une densité constante ; ainsi la constitution réelle de l'atmosphère est entre celles que donnent la supposition d'une température uniforme et l'hypothèse que nous considérons ici.

Dans cette dernière hypothèse , la densité des couches atmosphériques diminue en progression arithmétique quand leur hauteur croît suivant une progression semblable. En effet, si l'on suppose r~a[i-\-s), on a, à fort peu près.

as étant la hauteur de la couche atmosphérique. La limite de l'atmosphère a lieu au point où p = o, et alors as est égal à 2/; la hauteur de l'atmosphère est donc ici double de sa hauteur dans l'hypothèse d'une densité constante.

L'expression précédente de p donne

PJp) ^ P ^j «*.

[Pip (p) 2^*

La fonction j-^ est importante à considérer, en ce qu'elle exprime la

loi de la chaleur des couches de l'atmosphère. En effet, à la même température, l'expérience a prouvé que la pression de l'air est proportionnelle à sa densité; mais ce rapport croît avec la chaleur et peut la représenter; car, les molécules d'air ne paraissant soumises qu'à la force répulsive de la chaleur, il est naturel de penser que cette force croît en même raison que la chaleur. Il résulte de l'expression précédente de ^-^ que la chaleur des couches atmosphériques diminue, comme leur densité, en progression arithmétique. ■— de diminution dans la valeur de ^-^^ suppose ^ de diminution dans la valeur de

I ^; ainsi, en partant de la surface de la Terre, il faut s'élever de

"il la hauteur -^5 ou de 63™, 8, pour éprouver une diminution de ~ dans

la force élastique de l'air, à densités égales, ce qui répond, à fort peu près, à une diminution de i degré dans le thermomètre. Toutes les observations concourent à faire voir que cette élévation est trop petite et que la diminution de la chaleur est moins rapide; l'hypothèse que nous examinons ne représente donc ni les réfractions observées ni la loi observée de la diminution de la chaleur. Dans l'hypothèse d'une densité constante, on a

il faut donc s'élever de moitié moins que dans l'hypothèse précédente pour éprouver une diminution de i degré dans le thermomètre. Cette

hypothèse est donc encore plus éloignée de satisfaire aux observations sur les réfractions et sur la chaleur. On voit en même temps que, plus on se rapproche de l'observation sur les réfractions, plus on s'en rapproche relativement à la chaleur.

7. La constitution de l'atmosphère étant comprise entre les deux limites d'une densité décroissante en progression arithmétique et d'une densité décroissante en progression géométrique , une hypothèse qui participerait de l'une et de l'autre de ces progressions semble devoir représenter à la fois les réfractions et la diminution observée dans la chaleur des couches atmosphériques. L'hypothèse suivante réunit ces divers avantages à celui d'un calcul fort simple.

Reprenons l'équation (3) du n° 3, et supposons- =i — s; nous aurons à très-peu près, par le n*' 5,

i/ A • sin 0

y/cos^0-.a[i-^^

is — -îscos^Q

s étant une fraction très-petite, tant que s a une valeur sensible, nous pouvons négliger le terme — 2^cos^0, relativement à cos'^0; nous aurons ainsi

«T-^ sin0

i-a)y/cos^0-.a[i-^-^J Supposons maintenant

/et /' étant deux indéterminées. Cette valeur de p participe à la fois des deux progressions arithmétique et géométrique. En déterminant/ et /' de manière à représenter la hauteur du baromètre et la réfraction horizontale, si cette valeur satisfait encore à la diminution observée de

la chaleur des couches atmosphériques, on pourra la considérer comme représentant la vraie constitution de l'atmosphère et s'en servir pour construire une Table des réfractions. L'équation différentielle précédente devient alors

du [ r- fu\ - F . ^

do = — p==r= •

(i — a) y/cos^ô + lU

Soit

COS2 0 4- iu = il't^;

«'^ = (TT^îTîp (• -/- ■^- ^n ' " ■

L'intégrale doit être prise depuis t= -r^ry jusqu'à / infini; supposons

^cose

fdtc-^'=c-'''^f{T];

nous aurons

2a sin0^ ^f fj,.yy^j^ ^ ccf g.^Q ^^^Q

T est nul à l'horizon, oùcos0 = o; alors on a, par le n'' 5, W(T) — ^y/x; la réfraction horizontale est donc

en sorte que la réfraction serait nulle si / était égal à 2 ; elle serait négative si l'on avait/ > 2.

Déterminons maintenant la pression p de l'atmosphère. On a à trèspeu près, par le n° 5,

dp = — {g)apds.

et par conséquent, en substituant pour s sa valeur w h- a i — tA

on a

En substituant pour p sa valeur

et intégrant, en observant de plus que (/>) = (^)(p)^» on trouvera p al' f fu\ -j, „al' -j, , a p2

A la surface de la Terre, p = (/?), m = o et p = (p) ; on a donc

Si nous supposons la réfraction horizontale de 65oo secondes, ou, en parties du rayon, de 0,01021018, nous aurons

(i — a) \il

Ces deux dernières équations donnent

(o,oio2ioi8)2(i-a)2.8/'3 = a27r^3/'- - + -V- En substituant pour a, a et / leurs valeurs précédentes, on trouvera

Z'zz; 0,000741816, /=: 0,49042.

On aura donc, dans cette constitution de l'atmosphère,

a0==86ii",6.{o,75479-o,49o42.T2)sin0.^^^J^+3o93o^3.sin2e.

V'tt

OFMvres de L. — IV. 34

Déterminons la loi correspondante de la diminution de la chaleur, ou, ce qui revient au même, l'expression de^— ^- En substituant pour/? et p leurs valeurs précédentes, on a

p{p) al\ * l , , '« p

et par conséquent

Pour comparer ce résultat à l'expérience, supposons

on aura

d'où l'on tire

r^ = o , 462 1 4, as = 6909'", 44,

Pf =0,8266.

On verra ci-après que, x étant le nombre des degrés du thermomètre,

on a

En égalant cette quantité à o, 8266, on trouve

xr= — 460,24.

L'expérience la plus concluante de ce genre est celle de Gay-Lussac, qui, s'étant élevé de Paris, dans un ballon, à la hauteur de 6980 mètres au-dessus du niveau de la Seine, a observé le thermomètre à — 9°, 5 h cette hauteur, lorsqu'il était à 30*^,75 à l'Observatoire. La différence — 4o°,25 se rapproche autant qu'on peut le désirer du résultat précédent, vu surtout les variétés que les circonstances particulières de l'atmosphère doivent apporter dans ces résultats. On peut ainsi , par les observations sur la réfraction horizontale moyenne dans un climat.

déterminer la diminution moyenne de la chaleur à mesure que l'on s'élève, et réciproquement.

Si l'on veut, en partant de la loi précédente, avoir la réfraction sur une montagne, à la hauteur A au-dessus du niveau de la mer, on déterminera d'abord les valeurs de m et de p correspondantes à cette hauteur, et que nous désignerons par U et (p'), au moyen des équations

En faisant ensuite u

aura

fi'

f étant égal à ., • ,. .- Il suffira donc de changer, dans les formules

précédentes, (p) en (p') et/" en/'.

De là il suit que les réfractions horizontales, au niveau de la mer et à la hauteur A, sont entre elles comme (i —\f)f' est à

Pour avoir la réfraction au-dessous de l'horizon , on observera que, un rayon lumineux qui part d'un astre sous l'horizon décrivant une courbe concave vers la Terre, il s'en approche jusqu'au moment où il devient horizontal, et s'en éloigne ensuite en décrivant une courbe semblable à celle qu'il avait d'abord décrite, d'où il est facile de conclure que sa réfraction, plus celle d'un second astre vu aussi élevé au-dessus de l'horizon que le premier paraît au-dessous, est égale au double de la réfraction horizontale, au point où la direction du rayon est horizontale, ce qui a lieu quand iu! =^ — cos'^e. On aura donc facilement, par ce moyen, la réfraction de l'astre vu au-dessous de l'horizon.

Les formules précédentes renferment les trois indéterminées /',/ et

a, que nous avons déterminées au moyen de la réfraction horizontale et des hauteurs observées du baromètre et du thermomètre. On pourrait, au lieu de la réfraction horizontale, employer les observations sur la diminution de la chaleur. Pour construire une Table de réfraction, il faudrait connaître ou cette diminution ou les réfractions horizontales relatives à ces hauteurs, ce qui exigerait une longue suite d'observations; mais il en résulterait une Table beaucoup plus exacte que celle dont on fait usage. Cependant elle laisserait encore de l'incertitude, la loi de la nature sur les densités des couches de l'atmosphère n'étant pas exactement celle que nous avons supposée, et variant par mille causes inconnues. Par cette raison, les astronomes ne comptent que sur des positions observées à ii ou 12 degrés au moins de hauteur apparente. Heureusement, à ces hauteurs, la réfraction devient indépendante de ces causes, et on peut l'obtenir avec beaucoup de précision, par la seule observation des hauteurs du baromètre et du thermomètre dans le lieu de l'observateur : c'est ce que nous allons développer.

Théorie des réfractions astronomiques correspondantes à des hauteurs apparentes plus grandes que 12. degrés.

8. Reprenons l'équation différentielle (4) du n° 5. En réduisant le radical en série, elle devient

de= '^^^

cos^e

Si l'on néglige les produits de trois dimensions de a et de s, on aura rfp I s V p 1 "2 cos20 -+- 1 )

(p) "= { COS20 L (P)J

cos^e I

En intégrant depuis p = (p) jusqu'à p = o, on aura

^r I afacos^G + i) I rsdpl

L'intégrale f^r est égale à ^. —f^' ^^ ^^ prenant depuis p = (p) jusqu'à p = o, et observant qu'à la limite p = o répond ^ = i ou r infini, on aura

Pour avoir cette dernière intégrale, nous observerons que, p exprimant la pression de l'air, on a

dp = -gpdr = -g — pds;

or, (g) étant la pesanteur à la surface de la Terre, on a ^=(^)-^;

donc

P = -[s)af9ds.

Ainsi l'intégrale J^ds est égale à la pression entière (p) à la surface de la Terre, divisée par {g)a\ cette pression, par le n° 5, est égale à

(^)(p)/; on a donc

J"* çds / "(P)~«'

l'expression précédente de S6 devient ainsi