LIVRE PREMIER

42. On a souvent besoin, dans l'analyse des hasards, de ne considérer dans l'expression de A"s' que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance ? sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons la formule {[iJ") du numéro précédent. Si l'on y substitue au lieu de A"5' sa valeur

[s + ny— n[s + n — iY -\ ^^ — ^ — - (« + « — 2)' — ...,

et si l'on y change ensuite s dans — s, on aura, en ne continuant les deux séries du premier membre de l'équation suivante que jusqu'aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i devient négative, et observant que le signe + a lieu si n est pair et le signe — si/« est impair.

i Ln-sY-n[n~s- 1)'-+- --^^-^ (n - s - 2)'- . . .1

± ( i)'p- n[s - i)'-{- ^^' [s - 2)' - . . .1 m: „ . j r dx ,

= ^ — sin

Si l'on change dans la dernière intégrale ce en — ix \j— i , elle devient, après toutes les réductions,

2«-'(— i) * /^'«-'-< J^'[cos(25 — nja;' — v^^^sin(25 — n)x'] ( — -— j ,

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x' nul jusqu'à x' infini. On aura donc

-J- — 2«-^ — i) * sin — fxdxc-"^

X /^'"~'~' dx'\c,os[is — n)x' — \J— i^\n[is — n)x'\ 1 — — 1 •

Œuvres de L, — VII. 22

Supposons r= /i — I , ce qui donne i—n — i -] , et comparons séparément les parties réelles et les parties imaginaires de l'équation précédente. On a

or on a

I = ces •2.ln + \/— I sin 2 /::,

/ étant un nombre entier; on aura donc

, .- ilrm: , . ilmt:

(i)"r=cos 1- V— I sm •

Les valeurs correspondantes de (— i)" sont

ces 2/+ I h- V— » sm 2Z+ I ■ — ■•

Maintenant (i)' devant être supposé égal à l'unité dans l'équation (o),

faut choisir /de manière que cos h y — 1 sin soit i , ce qui

exige que l'on ait

ilm-K

/"étant un nombre entier que nous pouvons supposer nul ; alors on a

— I = ces h J— I sin — :

^ ' n * ti

mais on a

±:(-.)' = ±(-i)"""-«=:-(-i)"; la partie imaginaire du premier membre de l'équation (o) est donc / • fnr.V ; , ,. n[n—\), ., 1

Déterminons la partie imaginaire du second membre de l'équation (o). On a