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Or on a généralement, lorsque a est infiniment petit.

/étant zéro ou un nombre entier positif; car, si l'on développe c ^* en série, et que l'on désigne par k(i?s'^ un terme quelconque de cette série, on aura

En effet, si q surpasse /, ce terme devient nul par la supposition de a

infiniment petit. Si q est égal ou moindre que fyq + r — / sera égal

ou moindre que r, et, par conséquent, il sera plus petit que n, et alors,

par la propriété connue des différences finies, A"^^""" -^ sera nul. 11 suit

j 1' AH r dxc'^^ rdxc'^='[c-^ —i]'^ . 1 •. > de la que A" 1 — -r:çrr ^u i -^^ se réduit a

m I m\ I nï\

l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à infini. Si l'on fait a; = — »

/dxc-'^ n ~ * /* dx cm l m

les intégrales étant prises depuis x et x' nuls jusqu'à x et x' infinis ; on aura donc

En substituant pour ( iH- — W 2 h \.. .i sa valeur ^~^ > et ob-

servant que l'on a, par ce qui précède,

- fx'"'" dx' c-^' fx" dx c'^ = ^^— - ,

sin — 7r n

on aura la formule ((jl'").

Si i est un très grand nombre, on aura, par le n° 33, l'intégrale

fx' dx c~^ ;

on aura ensuite, par ce qui précède, l'intégrale

'dxc-^^lc-^— il«

ainsi l'on obtiendra, par une série très convergente, la valeur du second membre de la formule citée.

Supposons «infiniment petit, rsera nul, et— sera une fraction infiniment petite; on aura donc

Sin — TT = — 71 = iTT,

A« (^— ^) = A«log«.

La formule ([x'") donnera ainsi

'c-^-^dx

expression que l'on réduira facilement en série convergente, lorsque n est un grand nombre.