LIVRE II

en le divisant par le nombre total des combinaisons rkr des n numéros, on aura pour la probabilité chercbée

En divisant cette quantité par i . 2 . 3 , . .^, on aura, par ce qui précède, la probabilité que les s numéros sortiront dans un ordre déterminé entre eux. On aura la probabilité que les s premiers numéros du tirage seront ceux de la combinaison proposée, en observant que cette probabilité revient à celle d'amener cette combinaison, en supposant qu'il ne sort que s numéros à chaque tirage, ce qui revient à faire r = s dans la fonction précédente, qui devient ainsi

Enfin on aura la probabilité que les s numéros choisis sortiront les premiers dans un ordre déterminé, en réduisant le numérateur de cette fraction à l'unité.

Les quotients des mises divisées par ces probabilités sont ce que la loterie doit rendre aux joueurs; l'excédent de ces quotients sur ce qu'elle donne est son bénéfice. En effet, si l'on nomme/? la probabilité du joueur, m sa mise et x ce que la loterie doit lui rendre pour l'égalité du jeu, X — m, sera la mise de la loterie ; car, ayant reçu la mise m et rendant x au joueur, elle ne met au jeu que x — m. Or, pour l'égalité du jeu, l'espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa crainte; son espérance est le produit de la mise a; — m de son adversaire par la probabilité/? de l'obtenir; sa crainte est le produit de sa mise m par la probabilité i — /? de la perte. On a donc

c'est-à-dire que, pour l'égalité du jeu, les mises doivent être réciproques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

OEuvres de L. — VU. 25

ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

4. Une loterie étant composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu'après / tirages tous les numéros seront sortis.

Nommons s„^ le nombre des cas dans lesquels, après i tirages, la totalité des numéros i, 2, 3, ..., ^ sera sortie. Il est clair que ce nombre est égal au nombre ^„,g. , de cas dans lesquels les numéros i , 2, 3, . . ., ^ — I sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels, ces numéros étant sortis, le numéro </ n'est pas sorti ; or ce dernier nombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquels les numéros i , 2, 3, . . ., <7 — r seraient sortis, si l'on ôtait le numéro q des n numéros de la loterie, et ce nombre est 5„,,y,; on a donc

Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seul tirage

étant - ^- — -t celui de tous les cas possibles

dans i tirages est

Le nombre de tous les cas dans lesquels le numéro i ne sortira pas dans ces i tirages est le nombre de tous les cas possibles, lorsqu'on retranche ce numéro des n numéros de la loterie, et ce nombre est

le nombre des cas dans lesquels le numéro i sera sorti dans i tirages est donc