LIVRE II

c'est la valeur de z„,,. Cela posé, l'équation {i) donnera, en y faisant successivement q = 2., q = 3, . . .,

,„., = A' n«-^)(»-3)^.^(«-^-or

et généralement

Ainsi la probabilité que les numéros 1,2, 3, . . . , ^ sortiront dans i tirages étant égale à z„^ divisé par le nombre de tous les cas possibles,

elle sera

Av[{n — q ]{n~q — t). . .{n— r— g -\-i)y [n(n — j)(/i ~ 2). . .(n— r4- i)]'

Si l'on fait dans cette expression q = n, on aura, s étant ici la variable qui doit être supposée nulle dans le résultat,

[ai(« — i). . .{n— r-h i)J'

pour l'expression de la probabilité que tous les numéros de la loterie sortiront dans i tirages.

Si n et i sont de très grands nombres, on aura, par les formules du n° 40 du Livre I", la valeur de cette probabilité au moyen d'une série très convergente. Supposons, par exemple, qu'il ne sorte qu'un numéro à chaque tirage; la probabilité précédente devient

[ Proposons-nous de déterminer le nombre i de tirages dans lesquels

cette probabilité est^.» net i étant de très grands nombres. En suivant

l'analyse du numéro cité, on déterminera d'abord a par l'équation

ce qui donne

/ +1 nc^

On a ensuite, par le n** 40 du Livre P'', lorsque c" est une quantité très petite de l'ordre --, comme cela a lieu dans la question présente, on a,

dis-je, aux quantités près de l'ordre -^t s étant supposé nul dans le ré-

sultat du calcul.

Or on a, aux quantités près de l'ordre ^>

en supposant ensuite c~'' = 5, on a

de plus, l'équation qui détermine a donne

cna-i-\ — (;-izi^l — z);

on aura donc, aux quantités près de l'ordre ^^

A«5' ,., / i — in-\- \ i — n

Q-nz ,^ 2