LIVRE II

en sorte qu'il y a un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 85 tirages, et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans 86 tirages.

Un moyen fort simple et très approché d'obtenir la valeur de i est de

A" s' supposer — r-, ou la série

1 — ni 4-

égale au développement

,„(;i^y+»(''-o(;Lziy-...

du binôme i — i- — -\ • En effet les deux séries ont les deux premiers termes égaux respectivement. Leurs troisièmes termes sont aussi, à très peu près, égaux entre eux; car on a à fort peu près i"'~ \

1 • En effet, leurs logarithmes hyperboliques sont, en négligeant les termes de l'ordre — > égaux l'un et l'autre à On verra

de la même manière que les quatrièmes termes, les cinquièmes, ... sont très peu différents, lorsque /i et i sont de très grands nombres; mais la différence s'accroît sans cesse à mesure que les termes s'éloignent du premier, ce qui doit à la fin en produire une sensible entre les séries elles-mêmes. Pour l'apprécier, déterminons la valeur de i

conclue de l'égalité des deux séries. En égalant à r le binôme

ces logarithmes pouvant être, à volonté, hyperboliques ou tabulaires. Soit \/t.= i — ^- Nous aurons, en prenant les logarithmes hyperbo-

OEm'res de L. — VII. 26

liques de chaque membre de cette équation

- log/r = - log ( I - 2 ) = 2 + - + . . . ,

ce qui donne, à très peu près,

]osk ( \os,k\

on aura donc, en logarithmes hyperboliques,

log

logz = log logA- — log/t —

log/f

On a ensuite

log-

I I n in-

L'expression précédente de ^ devient ainsi, à très peu près,

/=/i(logn — IoglogA-)fi— ^j -4-^log/r; l'excès de la valeur trouvée précédemment pour i sur celle-ci est

-^(logn — IogIogA•); cet excès devient infini, lorsque n est infini ; mais il faut un très grand nombre pour le rendre bien sensible, et dans le cas de /ï = loooo et de X; = 2, il n'est encore que de trois unités. Si l'on considère pareillement le développement

de 1 expression r / rr^ rr ttt^^ rrrr-' comme celui du bi-

nôme i — (- ) ? on aura, pour déterminer le nombre i de coups

dans lesquels on peut parier un contre un que tous les numéros sortiront, l'équation