LIVRE II

ainsi de suite, la somme de tous ces termes exprimera le nombre des cas dans lesquels l'événement proposé peut arriver dans x-^ x'+ ... — n-\-\ tirages. Il faut diviser cette somme par le nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire par [p-^ q -{-r-\-...Y^'^'^'^"^-—^-^\ Si l'on désigne par p la probabilité de tirer une boule blanche d'une quelconque des urnes, par çr' celle d'en tirer une boule noire, par r' celle d'en tirer une boule rouge, . . ., on aura

q-hr-h... ^ /? -f- ^ H- r H-. . . p -h q -^ r -h. . .

la fonction [b), divisée par {p -h q + r-i-. . .^'^^''^-'-^'^^ deviendra ainsi

l.-2.3...{x-hf-hf'-h...-l)

p'^q'fr'f

La somme des termes que l'on obtiendra en donnant à / toutes les valeurs depuis /= o jusqu'à / = ^r' — i , à /' toutes les valeurs depuis y*'=o jusqu'à /' — a?'— I, ..., sera la probabilité cherchée d'amener X boules blanches avant x' boules noires, ou x" boules rouges, ou, etc.

On peut, d'après cette analyse, déterminer le sort d'un nombre n de joueurs A, B, C, . . ., dont p\ q', /, . . . représentent les adresses respectives, c'est-à-dire leurs probabilités de gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque x coups au joueur A, x' coups au joueur B, a?" coups au joueur C, et ainsi de suite; car il est clair que, relativement au joueur A, cela revient à déterminer la probabilité d'amener £p boules blanches avanta?' boules noires, ou a?'' boules rouges, ..., en tirant successivement une boule d'un nombre x->r oc' -\- x" -\- . . . — n-\-i d'urnes qui renferment chacune p boules blanches, q boules noires, r boules rouges, ...,/?, q,r, ... étant respectivement égaux aux numérateurs des fractions />', q', /, . . . réduites au même dénominateur.

8. Le problème précédent peut être résolu d'une manière fort simple par l'analyse des fonctions génératrices. Nommons yx,.T'.x\... la

OEuvres de L. — VU. 27

probabilité du joueur A pour gagner la partie. Au coup suivant, cette probabilité se change dans j^,,,^'^^;',...» si A gagne ce coup, et la probabilité pour cela est/?'. La même probabilité se change dans j^^.x'-t.a;",...» si le coup est gagné par le joueur B, et la probabilité pour cela est q'\ elle se change dansya;,a/,x"-i,...» si le coup est gagné par le joueur C, et la probabilité pour cela est r', et ainsi de suite; on a donc l'équation aux différences partielles

Tx.x'.x'i,... = p yx-K,x\x".... + q'yx,x-K.x",... + i^yx,x,x'i-\.... -i- —

Soit u une fonction de t, t', t", . . ., telle que yx,x',x",... soit le coefficient de t'^t'^'t"^" . . . dans son développement; l'équation précédente aux différences partielles donnera, en passant des coefficients aux fonctions

génératrices,

d'où l'on tire

par conséquent.

ce qui donne

H np'^

— nn'-V

1 , oc[x-^i){x+i)

Maintenant le coefficient de fl^^'l"^".., dans — est j^,^;^^' ..,, et le

même coefficient dans un terme quelconque du dernier membre de l'équation précédente, tel que kup'^t'^'t"^". . ., est ^/?"^jo.a;'-/',.r"-r,...; la quantité jo,ar'-/',x''-r,... est égale à l'unité, puisqu'alors il ne manque aucun coup au joueur A. De plus, il faut rejeter toutes les valeurs de yo,x'-i',x"-i\...y dans lesquelles /'est égal ou plus grand que x', /"est égal ou plus grand que x'\ et ainsi de suite, parce que ces termes ne peuvent être donnés par l'équation aux différences partielles, la partie étant