LIVRE IL

et leur application à l'un des problèmes les plus curieux de cette théorie.

Le problème proposé par Pascal à Fermât revient à déterminer les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie; car il est clair que l'enjeu doit être partagé entre les joueurs proportionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sont les mêmes que celles de deux joueurs A et B, qui doivent atteindre un nombre donné de points, X étant le nombre de ceux qui manquent au joueur A, et x' étant le nombre de ceux qui manquent au joueur B, en imaginant une urne renfermant deux boules dont l'une est blanche et l'autre est noire, toutes deux portant le n° i , la boule blanche étant pour le joueur A, et la boule noire pour le joueur B. On tire successivement une de ces boules, et on la remet dans l'urne après chaque tirage. En nommant yx,x' ^a probabilité que le joueur A atteindra, le premier, le nombre donné de points, ou, ce qui revient au même, qu'il aura appoints avant que B en ait x\ on aura

car, si la boule que l'on extrait est blanche, y^-.o;' se change en yoc-^,x'^ 6t si la boule extraite est noire, ya:,x' se change en yx,x'-iy ^t la probabilité de chacun de ces événements est | ; on a donc l'équation précédente.

La fonction génératrice de y^^jj dans cette équation aux différences partielles est, par le n° 20 du Livre I",

M étant une fonction arbitraire de t' . Pour la déterminer, nous observerons que /o.o ne peut avoir lieu, puisque la partie cesse lorsque l'une ou l'autre des variables x et x' est nulle; M doit donc avoir pour facteur t\ De plus jo.a/ 6st l'unité, quel que soit x', la probabilité du joueur A se changeant alors en certitude : or la fonction génératrice de

l'unité est généralement ^y,'> car les coefficients des puissances de t'

dans le développement de cette fonction sont tous égaux à l'unité; dans le cas présent, jo,a;' pouvant avoir lieu lorsque oo' est ou i, ou 2, ou 3, etc., î doit être égal à l'unité; la fonction génératrice de jo.a; est

donc égale à —-^•, c'est le coefficient de /" dans le développement de

la fonction génératrice de j^^^^;' ou dans

on a donc ce qui donne

par conséquent la fonction génératrice dey^^^x' est

(i-/')(i-if-Ar)' En la développant par rapport aux puissances de t, on a

Le coefficient de t^ dans cette série est

^- il

ja;,a;' Gst douc Ic cocfficient de t"^' dans cette dernière quantité; or on a