LIVRE IL

on a donc

2"*'i ^(xH-i)...(^H-ar' — 2) I

résultat conforme à ce qui précède.

Concevons présentement qu'il y ait dans l'urne une boule blanche portant le n° i, et deux boules noires, dont une porte le n° i, et l'autre porte le n° 2, la boule blanche étant favorable à A, et les boules noires à son adversaire, chaque boule diminuant de son numéro le nombre de points qui manquent au joueur auquel elle est favorable, jj.,^/ étant toujours la probabilité que le joueur A atteindra le premier le nombre donné, on aura l'équation aux différences partielles

jXx = ^Xx-i,x' -H sT-^.j^-i + iX.v.x-2 ;

car, au tirage suivant, si la boule blanche sort, y^^^;' devient yx-\,x\ si la boule noire numérotée i sort, y^^^;' devient yx.x'-ii et si la boule noire numérotée 2 sort, j^,^;' devient ja.,a;'2. et la probabilité de chacun de ces événements est {.

La fonction génératrice de y^^x' est

M étant une fonction arbitraire def', qui doit, par ce qui précède, avoir pour facteur t\ et dans le cas présent être égale à

en s.orte que la fonction génératrice de yj.,x est

Le coefficient de /-^ dans le développement de cette fonction est

et il résulte de ce que nous venons de dire que le coefficient de ^"^'dans le développement de cette dernière quantité est égal à

en rejetant du développement de cette série toutes les puissances de t' supérieures à t'^', et supposant dans ce que l'on conserve t' =. i , ce sera l'expression de yar.x'-

Il est facile de traduire ce procédé en formule. Ainsi, en supposant x' pair et égal à 2/*+ 2, on trouve

Ax + r — I

^ 1.2.3. ..(r+i)3-^--'L ^ ^'^^^^ 1.2 -^•••+ ,.2.3...rJ

, x{x-hi)...{x + r + i]r , . fr+2)(rH-i)...4"]

Si l'on suppose x' impair et égal à 2r h- i, on aura

- A [x + ^ 2 + ^i£±0 f 2^2 . , x{x-^i],..(x-hr-i) 1

r-v.xi

xix-]-i]...ix-+'7.r — 1]

Ainsi, dans le cas de a? = 2 et a?' = 5, on a