LIVRE IL

Concevons encore qu'il y ait dans l'urne deux boules blanches distinguées, comme les deux boules noires, par les n**^ 1 et 2; la probabilité du joueur A sera donnée par l'équation aux différences partielles

La fonction génératrice dejar.ar' est alors, par le n*' 20 du Livre PS

M-4-Nf

M et N étant deux fonctions arbitraires de t'. Pour les déterminer, on observera que y^yx' est toujours égal à l'unité, et qu'il faut exclure dans M la puissance nulle de t'; on a donc

Pour déterminer N, cherchons la fonction génératrice de j,,^. Si l'on observe quey^tof est égal à l'unité, et que, le joueur A n'ayant plus besoin que d'un" point, il gagne la partie, soit qu'il amène la boule blanche numérotée i ou la boule blanche numérotée 2, l'équation précédente aux différences partielles donnera

Supposons j,, a/ = I —7V; on aura

Xx' —— ^y'x—\ ' "4 Tx'—i' La fonction génératrice de cette équation est

m -\- nV

metn étant deux constantes. Pour les déterminer, on observera que j, ^ = o, et que par conséquent j'^ = i, ce qui donne m = i. La fonc-

Œwres de L. — VU. 28

tion génératrice de y'^., est donc

I + nt'

On a ensuite évidemment j,^, = |, ce quidonnej', = r^; y\ est le coefficient de t' dans le développement de la fonction précédente, et ce coefficient est 7i-f- {; on a donc n -+-j — ^, ou n = j. La fonction génératrice de l'unité est— —75 parce qu'ici toutes les puissances de t' peuvent être admises; on a ainsi

pour la fonction génératrice de j,^a.'. Cette même fonction est le coefficient de t dans le développement de la fonction génératrice de j^-.a/» fonction qui, par ce qui précède, est

ce coefficient est

en l'égalant à on aura

I— t' La fonction génératrice de ya;,x' est ainsi

Si l'on développe en série la fonction