LIVRE II

tant la première, et une des boules du n° 2, sortant la seconde. Ce cas est compris deux fois dans le nombre précédent; car il est compris une fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotées i sortira à son rang, et une seconde fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotée 1 sortira à son rang; et, comme cela s'étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, on voit qu'il faut retrancher du nombre des cas précédents le nombre de tous les cas dans lesquels deux boules sortent à leur rang.

Le nombre des combinaisons de deux boules de numéros différents

est — ' r^', car le nombre des numéros étant /i, leurs combinaisons

deux à deux sont au nombre ^ ^, et dans chacune de ces combi-

naisons on peut combiner les r boules marquées d'un des numéros avec les r boules marquées de l'autre numéro. Le nombre des combinaisons des m — 1 boules restantes, prises w — 2 à ^ — 2, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles, est

(r/î— ?.)(r/i — 3)...(rn — n -f- 1);

ainsi le nombre des cas relatifs à la supposition que deux boules sortent à leur rang est

— ' r^{rn-~ 'î){rn— 3), . .(m — n-h i);

en le retranchant du nombre {a), on aura

nr[rn — i][rn — 2) . . .[rn — n -4- i)

'^ U r^rn - 2)(m — 3). ..{m -n-h r),

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sortira à son rang, pourvu que l'on retranche encore de cette fonction les cas répétés, et qu'on lui ajoute ceux qui manquent.

Ces cas sont ceux dans lesquels trois boules sortent à leur rang. En nommant k ce nombre, il est répété trois fois dans le premier terme de

la fonction [a'); car il peut résulter, dans ce terme, des trois suppositions de chacune des trois boules sortant à son rang. Le nombre k est pareillement compris trois fois dans le second terme de la fonction ; car il peut résulter de chacune des suppositions relatives à deux quelconques des trois boules sortant à leur rang. Ainsi, ce second terme étant affecté du signe — , le nombre k ne se trouve point dans la fonction [a'); il faut donc le lui ajouter pour qu'elle contienne tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang. Le nombre des combinaisons (les n numéros pris trois à trois est — '-\ '-^ et, comme

on peut combiner les r boules d'un des numéros de chaque combinaison avec les r boules du second numéro et avec les r boules du troisième numéro, on aura le nombre total des combinaisons dans lesquelles

trois boules sortent à leur rang, en multipliant — ^'^ r^ par

[rn — 3) [rn — l\) . . . [m — n -{- 1), nombre qui exprime celui des combinaisons des m — '6 boules restantes, prises /i — 3 à /^ — 3, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles. Si l'on ajoute ce produit H la fonction (a), on aura

/ nr[rn — \)[rn — 2)...(rrt — n -H i)

I nln — i) in — 2),, „,, ,, , .

I H ^ ^^-„ '- r^rn — 3) (m - 4). . .[rn — n -\- i).

Cette fonction exprime le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang, pourvu que l'on en retranche encore les cas répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels quatre boules sortent à leur rang. En y appliquant les raisonnements précédents, on verra qu'il faut encore retrancher de la fonction [a") le terme

En continuant ainsi, on aura, pour l'expression du nombre des cas dans