LIVRE II

lesquels une boule au moins sort à son rang,

/ nr[rn — \) [rn — 2) . . . [rn — n -h i)

r-[ni — 2 ) ( rn — 3 ) . . . ( rn — /z -f- 1 )

r^[rn — Z)[rn — ^\). . .[m — n + 1) r^lrn — 4 ) f rn — 5). . .{rn ~

n[fi — \] [n — 2 ) {n — 3

la série étant continuée aussi loin qu'elle peut l'être. Dans cette fonction, chaque combinaison n'est point répétée : ainsi la combinaison de s boules sortant à leur rang ne s'y trouve qu'une fois ; car cette combinaison est comprise s fois dans le premier terme de la fonction, puisqu'elle peut résulter de chacune des s boules sortant à son rang; elle

est retranchée ^ - fois dans le second terme, puisqu'elle peut

résulter des combinaisons deux à deux des s boules sortant à leur rang;

elle est ajoutée ^^^~~ ^' ^^ — ^' fois dans le troisième terme, puisqu'elle

peut résulter des combinaisons de s lettres prises trois à trois, et ainsi de suite ; elle est donc, dans la fonction (A), comprise un nombre de fois

égal à

*f* — il s{s — i) f* — 2)

et par conséquent égal à i — (i — i)% ou à l'unité. En divisant la fonction (A) par le nombre m{rn — i){rn — 2) . .. {m — n-h i) de tous les cas possibles, on aura, pour l'expression de la probabilité qu'une boule au moins sortira à son rang,

i.2(rn — i) 1 .2.3(r/i — i) (rn — 2)

in — 2 (n — 3]r3

i . 2 . 3 . 4 ( rn — I ) ( rn — 2 )'( rn — 3 ) Cherchons maintenant la probabilité que s boules au moins sortiront

à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels s boules sortent à leur rang est, par ce qui précède,

[b] -^ ^^3 r.7 -''i'" -s){rn~s-i)...{rn-n + i),

pourvu que l'on retranche de cette fonction les cas qui sont répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels s -+- 1 boules sortent à leur rang, car ils peuvent résulter, dans la fonction, de 5 -4- i boules prises sas; ces cas sont donc répétés s -f- 1 fois dans cette fonction ; par conséquent il faut les retrancher s fois. Or le nombre des cas dans lesquels s h- i boules sortent à leur rang est

n[n — ij(/ï — 2). . .[n — s

r^-^U rn — s — i) { rn — s — 2) . . . ( m — n -h 1]

En le multipliant par s et le retranchant de la fonction (b), on aura

- -— -- -'^ -r'irn — s] [m — s — i) . . .{rn — n-i- i

sln — s]r

-i){rn-s)j

Dans cette fonction, plusieurs cas sont' encore répétés, savoir, ceux dans lesquels s -\- 2 boules sortent à leur rang; car ils résultent, dans le premier terme, des s -h 2 boules sortant à leur rang et prises s h s; ils résultent, dans le second terme, des ^ -h 2 boules sortant à leur rang et prises s -h i à 5 + i , et de plus multipliés par le facteur s, par lequel on a multiplié le second terme. Ils sont donc compris dans cette fonction le nombre de fois ^ -^ — s{s -h 2); ainsi il faut multiplier

par l'unité, moins ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels s -h 2 boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est

nin — in — 2...n — s — i

-^ — , V' — ^ — r^-^^lrn — 5— 2) (m — 5 — 3). . .(m — « -f- i);

le produit dont il s'agit sera donc

nin — i). . .{n — s— i) __„. , , ,5(54-1)