LIVRE IL

Maintenant, si l'on repasse des fonctions génératrices à leurs coefficients, et si l'on observe que y^^^ est nul, parce que le joueur A perd nécessairement la partie lorsqu'il n'a plus de jetons, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients.

la série du second membre s'arrêtant lorsque x — o.r— \ a une valeur négative. X^^-'^ X(•^-='^ . . . sont 1 le développement de la fonction

négative. X^^-'^ X<•^-='^ . . . sont les coefficients de 7,-^—5 -,1-^ •• • dans

T+sJr.-^pt) -(p-y'^-'iM

>-2 ^Pn

Si l'on nomme m' le coefficient de /^dans le développement de 11, «sera une fonction de t' et de x, génératrice de j;^,^:'. Si l'on nomme pareillement T' le coefficient de t dans le développement de m, le produit de

-^ --, par la fonction [i) sera la fonction génératrice du second membre

de l'équation précédente; cette fonction est donc égale à u'. Supposons X =: a ^b, alors y^^^- devient ya+b,x'i et cette quantité est égale à l'unité ; car il est certain que A a gagné la partie, lorsqu'il a gagné tous les jetons de B; w'est donc alors la fonction génératrice de l'unité; or x' est ici zéro ou un nombre pair, car le nombre des coups dans lesquels A peut gagner la partie est égal à b plus un nombre pair : en elfet, A doit pour cela gagner tous les jetons de B, et de plus il doit regagner chaque jeton qu'il a perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite, n exprimant un nombre de coups dans lequel A peut gagner la partie, il est égal à b plus un nombre pair; x\ étant le nombre des coups qui manquent au joueur X pour arriver à ti, est donc zéro ou un nombre

pair. De là il suit que, dans le cas de ;r = a -h 6, m' devient ; on

a donc -"!' i

(} + \/h ~ 'i/"/)"'- ij - \/r. - 4w)'

,a-hbpa+b-i i" , jii

ce qui donne la valeur de T'. En la multipliant par la fonction [i) divisée par l'^p'^-^ et dans laquelle on fait ^ = a, on aura la fonction génératrice de ya,x' égale à

Dans le cas de « = /^, elle devient

(i — /'2)[(i 4- v/1 - 4)»7^)'*+(i — ^7^47^)"] l^]n développant la fonction

[q] ( ' -^ y/V- ù^pqï''^ )« + ( I - sli-Jpqt^y

suivant les puissances de i", le radical disparaît, et le plus haut exposant de t' dans ce développement est égal ou plus petit que a. Mais, si l'on développe (i — yi — kp^f^Y suivant les puissances de /'*, le plus petit exposant de /' sera ia\ la fonction [q) est donc égale au développement de (i + Vi — 4/'^^")'*» en rejetant les puissances de t supérieures à a.

Maintenant on a, par le n** 3 du Livre Y\

z étant celle des racines de l'équation

qui se réduit à l'unité lorsque a est nul. Cette racine est

1 + VI — ^oc

en supposant donc a = pqt'^, on aura on aura ainsi

(i + y/i - /ipgt'^T -+- (i - v/i - /^pq^T

aia — 3) „ „ ,. aia — A)(a — 5] „ „ ,„

la série du dénominateur étant continuée exclusivement jusqu'aux puissances de t' supérieures à a. Ce second membre doit être, par ce qui précède, divisé par i — t'^, pour avoir la fonction génératrice (\eya,x''^ la quantité j«,j;' est donc la somme des coefficients des puissances de l', en ne considérant dans le développement de ce membre par rapport aux puissances de t' que les puissances égales ou inférieures à oo'. Chacun de ces coefficients exprimera la probabilité que A gagnera la partie au coup indiqué par l'exposant de la puissance de /'.

Si l'on nomme zi le coefficient correspondant à z""^^', on aura généralement

aia— 3) „ „ o = Zi— apq Zi-i H ^ p- q^ z/2 — ... ;

d'où il est facile de conclure les valeurs Ae z^, z^, . . ., en observant que z^, z 2, . . . sont nuls, et que ^o =P''' L^ valeur de z^ étant égale à ya,a+2i — ya,a^2i-2, OU aura celles de j«,«, 7«,«^,, 7«,«^4» etc. L'équation aux différences partielles à laquelle on est immédiatement conduit se trouve ainsi ramenée à une équation aux différences ordinaires, qui détermine, en l'intégrant, la valeur de r^^^;' ^^sl\s on peut obtenir cette

OEuvres de L. — \\\. 30

valeur par le procédé suivant, qui s'applique au cas général où a et b sont égaux ou différents entre eux.

Reprenons la fonction génératrice deya.x' trouvée ci-dessus; j«^^- est le coefficient de t^'~^ dans le développement de la fonction

en supposant

: I -+- y/ ■ - lipqt^)'' - (■ - ^T-J^^Y

s/i- ^pqt'^ 11 résulte du n" 5 du Livre V que, si l'on considère les deux termes

que l'on fasse ensuite successivement /' = i et /' — — i dans le premier

terme, et t' égal successivement à toutes les racines de l'équation Q = o

dans le second terme, la somme de tous les termes que l'on obtient de

cette manière sera le coefficient de t'^' dans le développement de la

fraction

Ce que le premier terme produit dans cette somme est

irt na

.^b I pa-+b QU+b '

Pour avoir les racines de l'équation Q = o, nous ferons

^^pq coscj le

lfn«T7T-l- l/ I tsînTT

ce qui donne

(coscT-t- \1— I sincî)'''^*— (cosnr — y/— i slncu )'*'*"■'

y'— I siriM (cosct)''-^*-'

ou