LIVRE II
2 sin(a 4- 6)cj
SinCT COSGJ
Les racines de l'équation Q = o sont donc représentées par
GJ
r étant un nombre entier positif qui peut s'étendre depuis r=^o jusqu'à rz=a-\-b — 2. Lorsque « -f- ^ est un nombre pair, ^t: est une des valeurs de ct; il faut l'exclure, parce que, cosci devenant nul alors, cette valeur de vs ne rend pas Q nul. Dans ce cas, l'équation Q = o n'a que a + b — 2 racines; mais, comme le terme dépendant de la valeur T3 = --':: est multiplié dans l'expression de ja,a;' P^r une puissance positive de cos^-^^ — ^j on peut conserver la valeur de rqui donne cj = ^-,
puisque le terme qui lui correspond dans l'expression de ya,x' disparaît.
Maintenant on a
dt' ~ dm dF ' d'où l'on tire, en vertu de l'équation sin(« -\~ b)m = o,
dQ __ 4(« + b)\/pqcos{r-h i)?: 4(« +b)^])q{— i)'-*"'
dt' Le terme
en observant que devient ainsi
singer (cossj)'*-^*-*
Sin2GT(COSGT]«+*-3
^ ' dl'
1 smflcT
sincj (cosGjr~'
'■^' sin ,- sin
a-[-b]\p^ — ipq cos
la somme de tous les termes que l'on obtient, en donnant à r toutes les valeurs entières et positives, depuis r = o jusqu'à r= a + b — 2, sera ce que produit la fonction
nous désignerons cette somme par la caractéristique S placée devant la fonction [h).
Si l'on fait r -h i =^ a -{- b — {r -+- 1), on aura
sin ^^ j— = sin ^- '— »
(r'+i)7r (r-f-iJTT
co.s ^^ r— = — CCS — 5
2(r'H-i)7r ^fr+ilTT
CCS ~ = COS f ■ ■)
. [r' -h 1)01: , . ^, . (r-l-i)rt7r
De là il est facile de conclure que, dans la fonction (A), le terme relatif à r+ i est le même que le terme relatif à /-'-f- 1 ; on peut donc doubler ce terme, et n'étendre alors la caractéristique S qu'aux valeurs de r
comprises depuis r==o jusqua r= ? si a -h b est pair, ou
r= ) si « -h ^ est impair. Gela posé, en observant que
. (r-+- \]av: , , . fr-f- 1)671 a-r- b ^ ' a-^ b
on aura
, . ^ ;' r -4- I ) TT . fr+OÔTcT fr+il7rl*+2/
P "^P^ COS -^^ ~ -i- (jf2
En changeant ât en b, p en q, et réciproquement, on aura la probabilité que le joueur B gagnera la partie avant le coup a -h 21, ou à ce coup.
