LIVRE II

Cette valeur serait très pénible à réduire en nombres, si h et 2« étaient de grands nombres; il serait surtout très difficile d'obtenir par son moyen le nombre de coups dans lesquels A peut parier un contre un de gagner la partie ; mais on peut y parvenir facilement de cette manière.

Reprenons la formule (H) trouvée ci-dessus. Dans le cas de a infini,

et/? étant supposé égal ou plus grand que^, si Tony suppose :t = <p

et - = dfù, elle devient a '

ai*+2/+2^i^^^j/+i /•f/(p sina© sin69(cos<p)*'^2i

— i-pq cos2<p -+- q^

l'intégrale devant être prise depuis ip = o jusqu'à 9 = ^-. Dans le cas de/> moindre que q, la même expression a lieu, pourvu que l'on change

le premier terme i dans^-

Si /? = <7, cette expression devient

'rfcp sin6(p (cos9)*+2j+i

sincD

l'intégrale étant prise depuis 9 nul jusqu'à 9 = |x. Supposons maintenant que b et i soient de grands nombres. Le maximum de la fonction

9(cos9)*-^2»+i sin9

répond à 9 = o, ce qui donne i pour ce maximum. La fonction décroît ensuite avec une extrême rapidité, et, dans l'intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer

logsin9 =^ log9 + Iog( i — | 9^) ^ Iog9 1 (p2^

l0g(C0S9)*+-2i+t — (è 4- 2/ ^ i) 10g(l i cp2 + L.(p4 )