II II

En retranchant cette équation de la précédente, on aura

Xh-\,x— Xn-2,x-i -+- — J„-i,.c-« = 0;

ainsi l'équation (i) subsiste dans le cas de r= n — i.

Le raisonnement précédent conduit encore à cette équation

ce qui donne

En retranchant cette équation de celle-ci, que donne l'expression générale de yr,x,

et faisant ^ ( jo.x + fn.x) = Jc^» on aura

Jl.x— ro,x-i -H — ri,a:-« = o.

L'équation (i) subsiste donc encore dans le cas même de r = i, pourvu que l'on y change jo,x dans /o.x- 0" doit observer que jo,x ^st la probabilité de gagner la partie au coup jc de chacun des deux premiers

joueurs, au moment où le jeu commence; car cette probabilité devient, après le premier coup, jo,a; ou j^,.^ suivant que le joueur gagne ou perd, et la probabilité de chacun de ces événements est ^.

Maintenant, la fonction génératrice de l'équation (i) est, par le n° 20 du Livre V,

ia) îiA^ ,

/ étant relatif à la variable x, et t' étant relatif à la variable r, en sorte que yr,x est le coefficient de t"'t^ dans le développement de cette fonction; <p(^) est une fonction de t qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, nous ferons

IH t"

la fonction génératrice de yr,x sera le coefficient de t"^ dans le développement de la fonction (a); elle sera donc

La probabilité que la partie finira précisément au coup x est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup ; elle est donc

'i-y\,x-\- yK,x-\- /2,j-H- • • . + jr«-«..c;

par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est

T 9{f) (2+ /T + /2T2 4-. . .+ ^«-«T«-«) ou

En l'égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus et qui est