LIVRE II

Donnons à la fonction génératrice de z.^ cette forme

le coefficient de t^ dans —-rr- — ttt est

I (^ — rn-h \]{x — m ->r "2) . . .[x — rn -\- r — "i

on a donc

expression qui n'est relative qu'à x plus grand que «, et dans laquelle il ne faut prendre qu'autant de termes qu'il y a d'unités entières dans

le quotient "-• Lorsque ^ = «, on a 5^ = ——^•

En développant de la même manière la fonction génératrice de la probabilité que la partie finira avant ou au coup x, on trouvera pour l'expression de cette probabilité

— ix — 2n-+-4

cette expression ayant lieu dans le cas même de x = n. ^

Déterminons maintenant les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie au coup x. Soit jo,x celle du joueur qui a gagné le premier coup. Soient y^^^, ja^^., ..., j„-,,.r celles des joueurs suivants, et y„^x celle du joueur qui a perdu au premier coup, et qui par là est devenu le dernier. Désignons les joueurs par (o), (i), (2), ..., (n — i), {n). Gela posé, la probabilité yr,x du joueur (r) devient yr-\,x-\> si au second coup le joueur (o) est vaincu par le joueur (i) ;

car il est visible que (r) se trouve alors, par rapport au vainqueur (i), dans la même position où était (^— i) par rapport au vainqueur (o); seulement, il y a un coup de moins à jouer pour arriver au coup x, ce qui change x dans x — i . Présentement la probabilité que le joueur (o) sera vaincu par (i) est j; ainsi ^yr-%^x-\ ^st la probabilité du joueur (r) pour gagner la partie au coup ^, relative au cas où (o)est vaincu par(i). Si (o) n'est vaincu que par (2), j^,^ devient j'^2,x-2» et la probabilité de cet événement étant -}, on a {j',.2,a:-2 pour la probabilité du joueur (r) de gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r), y^^x devient jo,x-/-. et la

probabilité de cet événement est — ; ainsi — yo.a--r est la probabilité

du joueur (r) pour gagner la partie au coup x, relative k ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu que par le joueur (r h- t), y^^^ se change dans yn-\,x-r-\\ car alors le joueur (r) se trouve, par rapport au vainqueur, dans la position primitive du joueur [n — i) par rapport au joueur (o) ; seulement il ne reste que x — r—i coups à jouer pour arriver au coup X. Or la probabilité que (o) ne sera vaincu que par le joueur

(r-+- i) est —^^^•> -^::^^ yn-\,x-r-i ^st donc la probabilité de (r) pour gagner la partie au coup x^ relative à ce cas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura la probabilité entière y^ a. du joueur (r) pour gagner la partie, ce qui donne l'équation suivante :

rr.x= -yr-S.x^X + -2 //--a.^-a -\-...+ ~ fo.x-r + -— -J,,-, ,.r-r) I I

Cette expression a lieu depuis /•= i jusqu'à r= n — 2. Elle donne

- Jr-l.x-) = — J,-2,c-2 -1- -~,rr-3,x-3 -f- . . . + -Xr,.t-n-

En retranchant cette équation de la précédente, on aura celle-ci aux