LIVRE IL

Cette équation servira depuis r=o jusqu'à r=n — i, pourvu que l'on y change ¥„ dans ¥„, Yo étant l'avantage des deux premiers joueurs» au moment où ils entrent au jeu.

Si, au commencement de la partie, chacun des joueurs dépose au jeu une somme a, l'avantage du joueur (r) en sera augmenté de (n -h i)a, multiplié par la probabilité j^, que ce joueur gagnera la partie; mais il faut en ôter la mise a de ce joueur; il faut donc, pour avoir alors son avantage, augmenter l'expression précédente de Y^ de la quantité

{n-hi)a{i-p)p'- ^

Lorsque l'avantage de (r) devient négatif, il se change en désavantage.

12. Soit q la probabilité d'un événement simple à chaque coup; on demande la probabilité de l'amener «fois de suite dans le nombre x de coups.

Nommons z^ la probabilité que cet événement composé aura lieu précisément au coup oo. Pour cela, il est nécessaire que l'événement simple n'arrive point au coup ce — i, et qu'il arrive dans les i coups suivants, l'événement composé n'étant point arrivé précédemment. Soit alors P la probabilité que l'événement simple n'arrivera point au coup cc — i—i. La probabilité correspondante qu'il n'arrivera point au coup 00— i sera (i — q)V, et la probabilité correspondante que l'événement composé aura lieu précisément au coup x sera (i — q)Vq^. Ce sera la partie de z^ correspondante à ce cas. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera au coup a? — i est évidemment Py'; on a donc

P— ^fui.

ainsi la valeur partielle de z^, relative à ce cas, est (i — q)z^^.

Considérons maintenant les cas où l'événement simple arrivera au coup X — i— i. Nommons P' la probabilité qu'il n'arrivera pas au

coup x — i—i\ la probabilité qu'il arrivera dans ce cas au coup x — i —\ sera qV, et la probabilité qu'il n'arrivera pas au coup x — i sera (i — ^)^P'; la valeur partielle de z^ relative à ce cas sera donc (i — q)qVq'. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera précisément au coup x — 'i est P'^' : c'est la valeur de z^^, ce qui donne

(i q)qz^2 est donc la valeur partielle de z^ relative au cas où l'événement simple arrivera au coup x ~ i — \, sans arriver au coup X — i — 2 .

On trouvera de la même manière que (i —q)q^z^^ est la valeur partielle de z^ relative au cas où l'événement simple arrivera aux coups x — i—i et ^ — t — 2, sans arriver au coup x — ï — 3; et ainsi de suite.

En réunissant toutes ces valeurs partielles de z^, on aura

Zx=[l— q)[Zx-i +qZx-2 -hq^Z.r:-3 + . . . -\- q''* Z^-i).

Il est facile d'en conclure que la fonction génératrice de z^ est

I — f H- (i — <7)^' /'■-*-'' car cette fonction génératrice est

i — {} — q){t-\-qt^-h...-hq''*t') ou

La fonction <p(^) doit être déterminée par la condition qu'elle ne doit renfermer que la puissance i de t, puisque l'événement composé ne peut commencer à être possible qu'au coup i] de plus, le coefficient de cette puissance est la probabilité q^ que cet événement aura lieu précisément à ce coup.