LIVRE II

En divisant la fonction génératrice précédente par i — ^, on aura

qi[i-qt]ti

,.,,[.^<l.:il^]

pour la fonction génératrice de la probabilité que l'événement composé aura lieu avant ou au coup x.

En développant cette fonction, on aura, pour le coefficient de t^^\ la série

gi[[, q)x ^,^^^ [,- q)q^i'^:zl[[i- q)[x - i -x] +1^

/ \, ..ix' — 3i) (x — 3i —\) [x — Si—i) , .. . ,

[i^q)3qu\ n ^ ^ ^ ^' '[{i-q){x-3i-3)+i]

la série étant continuée jusqu'à ce que l'on arrive à des facteurs négatifs. C'est l'expression de la probabilité que l'événement composé aura lieu au coup a; + î ou avant ce coup.

Supposons encore que deux joueurs A et B, dont les adresses respectives pour gagner un coup sont ^ et i — q, jouent à cette condition, que celui des deux qui aura le premier vaincu «fois de suite son adversaire gagnera la partie; on demande les probabilités respectives des deux joueurs pour gagner la partie précisément au coup a?.

Soit jic la probabilité de A, et y'^ celle de B. Le joueur A ne peut gagner la partie au coup x, qu'autant qu'il commence ou recommence à gagner B au coup ce — i -h i, et qu'il continue de le gagner les i — i coups suivants. Or, avant de commencer le coup ûo — i-h i, B aura déjà gagné A ou une fois, ou deux fois, . . ., ou « — i fois. Dans le premier cas, si l'on nomme P la probabilité de ce cas, P(i — ^)'~* sera la probabilité y^^ de B pour gagner la partie au coup a? — i, ce qui donne

Mais si B perd au coup x — i + i et aux i — i coups suivants, A gagnera la partie au coup x, et la probabilité de cela est P^'; — ^^-^^ est donc la partie de y^; relative au premier cas.

Dans le second cas, si l'on nomme P' sa probabilité, P'(i — qj''^ sera la probabilité j!j.2 de B pour gagner la partie au coup ^ — 2. La probabilité de A pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas, est

qI y*

P'^'; on a donc wLa P^ur cette probabilité. En continuant ainsi, on aura

Si l'on change ^ en i — q, y^ en y'^, et réciproquement, on aura

r'x = -^i ( ^r-^-« + 9'rx-2 -v- . . . + ç'-'r^-,v. ).

Maintenant, u étant fonction génératrice de y^, celle de y'^ sera, par tout ce qui précède,

kqut{i-hqt + qfi-h. . . + qi-^Ù-^),

k étant égal à p-^* Mais l'expression précédente de j^ ne commençant à avoir lieu que lorsque ^i? = ? + i , parce que pour des valeurs plus petites de x, yy.^ , y^-iy • • • sont nuls, il faut, pour compléter l'expression précédente de la fonction génératrice de j^, lui ajouter une fonction rationnelle et entière de t, de l'ordre i, et dont les coefficients des puissances de t soient les valeurs dey'^, lorsque x est égal ou plus petit que i. Or y'^ est nul, lorsque x est moindre que i; et lorsqu'il est égal à i, y'j. est (1 — q)', parce qu'il exprime alors la probabilité de B pour gagner la partie après i coups; la fonction à ajouter est donc (1 — qYt^; ainsi la fonction génératrice de y'^ est

kqut[i-^qt-h. ..-l-^'-2;'-2]i (i qYti, Si l'on nomme u' cette fonction, l'expression de y^ en y'^^ , j^2» • • • »