LIVRE II

mais, dans la question présente, ces variables ne peuvent pas s'étendre au delà de n. Pour exprimer cette condition, nous observerons que, l'urne renfermant n + i boules, la probabilité d'extraire l'une quelconque d'entre elles est ; ainsi la probabilité de chacune des valeurs de tt, depuis zéro jusqu'à /i, est La probabilité des valeurs

de t^, égales ou supérieures à /i + i, est nulle; on peut donc la représenter par — — — î pourvu que l'on fasse /= i dans le résultat du calcul ; alors la probabilité d'une valeur quelconque de /, peut être généralement exprimée par ^ — ? pourvu qu'on ne fasse commencer /,

que lorsque t^ aura atteint n -\-i, et qu'on le suppose à la fin égal à l'unité; il en est de même des probabilités des autres variables. Maintenant, la probabilité de l'équation (i) est le produit des probabilités

des valeurs de ^,, t^, t^, ... ; cette probabilité est donc ( j ; le

nombre des combinaisons qui donnent cette équation, multipliées par leurs probabilités respectives, est ainsi le produit de la fraction (a) par

Wi + W

» ou

(s -^i]is-h'2]. . .is-hi—i] /i — /«+'

mais il faut, dans le développement de cette fonction, n'appliquer /''^' qu'aux combinaisons dans lesquelles une des variables commence à surpasser n: il faut n'appliquer P"'^^ qu'aux combinaisons dans lesquelles deux des variables commencent à surpasser n, et ainsi du reste. Si dans l'équation (i) on suppose qu'une des variables, /,, par exemple, surpasse /i, en faisant tt = n -h i -ht\^ cette équation devient

la variable t\ pouvant s'étendre indéfiniment. Si deux des variables telles que /, et /a surpassent n, en faisant

l'équation devient

et ainsi de suite. On doit donc, dans la fonction (a) que nous avons dérivée de l'équation (i), diminuera de /t -f- 1, relativement au système des variables /',, ^a» ^3, .... On doit le diminuer de 2/1 + 2, relativement au système des variables t\, C, t^, . .., et ainsi du reste. Il faut par conséquent, dans le développement de la fonction [b) par rapport aux puissances de /, diminuer, dans chaque terme, s de l'exposant de la puissance de /; en faisant ensuite /= i, cette fonction devient

'5 + i)(5-f- 0.]. . As -h î — 0 iis — n][s — n + i)...(j + i — n — 1]

/(/ — i) [s — in — \)[s — in). . .(*-4-i — in — 3)

la série devant être continuée jusqu'à ce que l'un des facteurs s — /^, s — in — i, s ~ 3n — 2, ... devienne nul ou négatif.

Cette formule donne la probabilité d'amener un nombre donnée, en projetant i dés d'un nombre n -h i de faces chacun, le plus petit nombre marqué sur ces faces étant i . Il est visible que cela revient à supposer dans l'urne précédente tous les nombres des boules augmentés de l'unité, et alors la probabilité d'amener le nombre s -h «dans i tirages est la même que celle d'amener le nombre s dans le cas que nous venons de considérer; or, en faisant s -h i = s', on a s = s' ~ i; la formule (c) donnera donc, pour la probabilité d'amener le nombre s' en projetant les i dés,

/(/ — i) [s' — 2n~3){s' — m — ^). . .{s' — i — in — i)