LIVRE II

t étant supposé l'unité après les différentiations, ce qui donne

fTV

-^ ={i-^i)q{i-q)[q'-'-^{i-qy-*]-^iq'{i-qY-i,

dV

dt

= *■(> - q)q'[' - 2(. - qy-\ - qq^li - (i - qY],

dT" On aura T" et-^- en changeant, dans ces deux dernières expressions,

q dans j — q.

13. Une urne étant supposée contenir n 4- i boules, distinguées par les n°^o, I, 2, 3, . . .,n, on en tire une boule que l'on remet dans l'urne après le tirage. On demande la probabilité qu'après i tirages la somme des nombres amenés sera égale à s.

Soient t^, t^, t^, . . . , ti les nombres amenés au premier tirage, au second, au troisième, ... ; on doit avoir

/a, ^3, . •• , ti étant supposés ne pas varier, cette équation n'est susceptible que d'une combinaison. Mais, si l'on fait varier à la fois t^ et ^2. et si Ton suppose que ces variables puissent s'étendre indéfiniment depuis zéro, alors le nombre des combinaisons qui donnent l'équation précédente sera

car t^ peut s'étendre depuis zéro, ce qui donne

jusqu'à ^ — /g — /^ — ... — /,, ce qui donne /j = o» les valeurs négatives des variables ^,, /a devant être exclues.

Maintenant, le nombre ^ -h i — /, — /^ — . . . — /, est susceptible de plusieurs valeurs, en vertu des variations de ^3, z^, .. . . Supposons

OEuvresde L. — VII. . 33

d'abord ^4, t^, ... invariables, et que ^3 puisse s'étendre indéfiniment depuis zéro; alors, si l'on fait

« + I — ^3 — tji — . . .— ti-= X,

en intégrant cette variable dont la différence finie est l'unité, on aura

■~ pour son intégrale; mais, pour avoir la somme de toutes les

valeurs de x, il faut, comme l'on sait, ajoutera à cette intégrale ; cette

somme est donc —^ — --- Il faut y faire ^égal à sa plus grande valeur,

que l'on obtient en faisant /g nul dans la fonction 5 + 1 — ^3 — ^, — ... — /,: ainsi le nombre total des combinaisons relatives aux variations de i,,

(^ + 2— f.t— fs— •• •— ti)[s-\-\ — tj — h — . . . — tj)

En faisant encore dans cette fonction

s + 1 — ts — f 5 — ... — tir= X,

elle devient 5 en l'intégrant depuis £i: = oeten ajoutant la fonction elle-même à cette intégrale, on aura -^ — n^\^ — V) ^.^ valeur de œ

nulle répond 2it,,=- s -\- 1 —t^— ... ~ ti, et sa plus grande valeur répond à ^4 nul, et par conséquent elle est égale à 5 +- 2 — ^5 — ... — /^; en substituant donc pour x cette valeur dans l'intégrale précédente, on aura

(5+3 — fs— ^6— ••■— ti){s-^ 2 — tr,~t6 — ...— ti){s+\— ts—ts—---— tj)

pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variations de/,, /a, ^3, tji. En continuant ainsi, on trouvera généralement que le nombre total des combinaisons qui donnent l'équation (i), dans la supposition où les variables r,, t.^, ...,/, peuvent s'étendre indéfiniment depuis zéro, est ln\ [s + i- 1) {s-hi-9.){s-hi-3)...[s + i) .