LIVRE II

et la probabilité qu'il sera — ^^ — h /est, par le même numéro,

sjinpqn Si l'on fait

p-\-q o.pq

cette fonction devient

Sj-Kll

c'est la valeur deya:.o» ou de y'^-^y, mais la valeur précédente de j^. ,., donne

Yx, 0 = 9

on a donc partant,

\n) Jnr.

sJ' sjn-m

IC (-^c" i— )

Jx.r — —=C *■ •* .

La valeur de a; la plus probable est celle qui rend nul xd" '^^j et

par conséquent elle est égale à

np

{p-\-g)(y' la probabilité que la valeur de £c sera contenue dans les limites

np j [X \Jn

[p + q)c'' c" est

l'intégrale étant prise depuis ]j. = o.

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules blanches contenues dans l'urne A, après r tirages. Cette valeur est la somme de tous les nombres possibles de boules blanches, multipliés parleurs probabilités respectives; elle est donc égale à

l'intégrale étant prise depuis [x — o jusqu'à jy. = ao . Cette valeur est

ainsi

np

par conséquent, elle est la même que la valeur de x la plus probable.

Considérons maintenant deux urnes A et B renfermant chacune le nombre n de boules, et supposons que, dans le nombre total 2n des boules, il y en ait autant de blanches que de noires. Concevons que l'on tire en même temps une boule de chaque urne, et qu'ensuite on mette dans une urne la boule extraite de l'autre. Supposons que l'on répète cette opération un nombre quelconque r de fois, en agitant à chaque fois les urnes, pour en bien mêler les boules; et cherchons la probabilité qu'après ce nombre r d'opérations, il y aura a; boules blanches dans l'urne A.

Soit z^,r cette probabilité. Le nombre des combinaisons possibles dans r opérations est n*'*; car à chaque opération les n boules de l'urne A peuvent se combiner avec chacune des n boules de l'urne B, ce qui produit n^ combinaisons; n^^z^^^ est donc le nombre des combinaisons dans lesquelles il peut y avoir x boules blanches dans l'urne A après ces opérations. Maintenant, il peut arriver que l'opération (r-f- i)»éme fasse sortir une boule blanche de l'urne A, et y fasse rentrer une boule blanche; le nombre de cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de ri^^z^^^ par le nombre x des boules blanches de l'urne A, et par le nombre n — x des boules blanches qui doivent être alors dans l'urne B, puisque le nombre total des boules blanches des deux urnes est n. Dans tous ces cas, il reste x boules blanches dans