LIVRE II

l'urne A; le produit œ{n — x)n^'' z^^^j. est donc une des parties de

Il peut arriver encore que l'opération (rn- i)««™e f^sse sortir et rentrer dans l'urne A une boule noire, ce qui conserve dans cette urne a? boules blanches. Ainsi n — x étant, après l'opération r'^™^, le nombre des boules noires de l'urne A, ^i x étant celui des boules noires de l'urne B, {n — x)xn}''z^^r est encore une partie de n}''^'^z^^r■^^.

S'il y a ^ — I boules blanches dans l'urne A après l'opération r*^"* et que l'opération suivante en fasse sortir une boule noire et y fasse rentrer une boule blanche, il y aura x boules blanches dans l'urne A après l'opération (r-f- 1)'^™^. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de /i^^'^a^-nr P^i' le nombre n — x -\^ i des boules noires de l'urne A après le tirage /^«™«, et par le nombre n — x -^ i des boules blanches de l'urne B, après la même opération ; (n—x+ 1 )''/i"'^5x-i,r est donc encore une partie de n-'''^^ z^^^+t •

Enfin, s'il y a a: + i boules blanches dans l'urne A après l'opération r*^"*, et que l'opération suivante en fasse sortir une boule blanche et y fasse rentrer une boule noire, il y aura encore, après cette dernière opération, x boules blanches dans l'urne. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de n^''Zx^^^J. par le nombre x -\- i des boules blanches de l'urne A, et par le nombre x + i des boules noires de l'urne B après l'opération r'^™«; [x-{- i)Vi^''^^+,^ est donc encore une partie de n^''^^x,r+i'

En réunissant toutes ces parties et en égalant leur somme à /i*'''^*2a?,r+i» Oîï aura l'équation aux différences finies partielles

(X--+-IY 2^/ x\ ( .r— l\2

^•^•'•-'==(,-rrj '■'^'''■-^ -n:y- n)'^''-^ y-^ --n~) ^-^-'''••

Quoique cette équation soit aux différences du second ordre par rapport à la variable x, cependant son intégrale ne renferme qu'une fonction arbitraire qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de x dans l'état initial de l'urne A. En effet, il est visible que, si l'on connaît les valeurs de 2^,0 correspondantes à toutes les valeurs de x depuis

x = o jusqu'à X = n, l'équation précédente donnera toutes les valeurs de ^a;,,, z^^2f . . ., en observant que, les valeurs négatives de x étant impossibles, z^^r est nul lorsque x est négatif.

Si n est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences partielles, que l'on obtient ainsi. On a alors, à très peu près,

dZx,r , I à^Zx,r

dZx.r

Zx,r+\ — Zx,r ~i~

Soient

dr

n-\-iisln , .,

or = > r=^nr, Zx r-=yj',

l'équation précédente aux différences finies partielles deviendra, en négligeant les termes de l'ordre — :

du ,, au a^u

Pour intégrer cette équation, qui, comme on peut s'en assurer par la métbode que j'ai donnée pour cet objet, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de l'année 1773, n'est intégrable en termes finis qu'au moyen d'intégrales définies, faisons

<p étant fonction de t et de r'. On aura

2 p. — =11 Q-v-'^ / 9 — ifc-v-t [(^dt -Ir td<f), —~=fc-^^t^cfdt; l'équation aux différentielles partielles en U devient ainsi fc-\^^^dt='îc-i'^t<f+fc-\'(dtlt^<f, — it^y